„Racionális számok” változatai közötti eltérés

a
a (Szám és névelő egyeztetése, egyéb apróság)
A racionális számok halmaza (<math>\mathbb{Q}</math>) az [[a racionális számok összeadása|összeadás]] és a [[szorzás]] műveletével [[test (algebra)|testet]] alkot. Ez a test az egész számok (<math>\mathbb{Z}</math>) [[hányadostest]]e. A legszűkebb test, ami tartalmazza a természetes számokat, mivel <math>\mathbb{Z}</math> a legszűkebb gyűrű, ami tartalmazza a természetes számokat.
 
A racionális számok halmaza a legszűkebb 0 [[karakterisztika|karakterisztikájú]] test. Minden egyéb 0 karakterisztikájú test tartalmazza a racionális számok testének egy izomorf képét. A valós számok [[prímtest]]e is, és mint prímtest, [[merev test (algebra)|merev]], azaz [[automorfizmuscsoport]]ja egyelemű.
 
A racionális számok [[algebrai lezárt]]ja (azaz a racionális együtthatós polinomok gyökeit is tartalmazó legszűkebb test) az [[algebrai szám]]ok halmaza.
A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, vagyis sorozatba rendezhető. Ez azt jelenti, hogy <math>\Q</math> és <math>\N</math> egy-egyértelműen megfeleltethető egymásnak, azaz minden <math>q</math> racionális számhoz rendelhető egy <math>n</math> természetes széám, és megfordítva. Ilyen sorozatokat lehet alkotni Cantor első átlós érvével vagy vagy a Stern-Brocot-fával. Mivel a [[valós számok]] [[számosság]]a ennél nagyobb, így mondhatjuk, hogy a valós számok túlnyomó többsége irracionális.
 
A sűrűség ellenére nincs olyan valós-valós függvény, ami csak a racionális számokon folytonos. Ezzel szemben van olyan, ami az irracionális számokon folytonos, de a racionálisokon nem.
 
A racionális számok halmazának [[Lebesgue-mérték]]e nulla.
==Tizedestört alak==
A valós számoknak van tizedestört alakjuk. A racionális számok ezek közül a szakaszos tizedestörtek.
Az irracionális számok tizedestört alakja nem periodikus.
 
A véges tizedestörtek pontosan azok, ahol a tovább nem egyszerűsíthető tört vagy áltört alak nevezője osztója az alap valamelyik hatványának. Ekvivalensen, a nevező prímtényezői az alap prímtényezői közül kerülnek ki. A véges tizedestörtek is szakaszos tizedestörtek; a véges rész az előszakasz, a periódus nulla számjegyből áll. A tizedestört alak nem mindig egyértelmű; a véges tizedestörtként írható racionális számoknak van egy másik tizedestört alakjuk is, ami megkapható a véges tizedestört alak utolsó számjegyét eggyel csökkentve, utána a szakaszt csupa kilencessel kitöltve. Lásd: [[0,999…]]
Egy adott <math>n>1</math> nevező esetén a szakasz hossza pontosan akkor <math>l:=\operatorname{ord}_n(g)=\varphi(n)</math>, ha <math>g</math> [[primitív gyök]] modulo <math>n</math>. Primitív gyök akkor van, ha az <math>(\Z/n\Z)^\times</math> prím maradékosztálycsoport [[ciklikus csoport|ciklikus]], azaz ha <math>n \in \{2, 4, p^r, 2p^r \; \; | \; \; 2 < p \in \mathbb{P}; \; r \in \mathbb{N}\} .</math> Különben a periódus hossza <math>\varphi(n) </math> valódi osztója.
 
Az alábbi táblázat <math>g = 2, 3, 5</math> és <math>10</math> esetét mutatva azt a benyomást kelti, hogy a maximális szakaszhossz gyakori. Például a <math>n = 7, 17, 19, 23, 29 </math> prímszámok reciprokainak szakaszhossza <math>\varphi(n) = n-1 = 6, 16, 18, 22, 28 </math>. A <math>n = 12, 15, 21, 33, 35</math> összetett számok esetén a maximális hossz <math>\operatorname{ord}_n(g)\le\varphi(n)/2 </math>. A <math>\varphi(n) </math> hosszú periódusok ki vannak emelve. A legrosszabb eset [[Landau-szimbólum|<math>\mathcal{O}(n)</math>]], míg átlagos esetben az <math>n</math> szám <math>\scriptstyle \operatorname{len}_g(n)</math> hossza a <math>g</math> alapú számrendszerben <math>\mathcal{O}(\log n)</math>. AzA 802787 prímszám reciprokának periódushossza kettes számrendszerben 802786, tízes számrendszerben 401393. Ez túl sok ahhoz, hogy a táblázatban szerepeljen.
 
{| style="text-align:right;"
319 397

szerkesztés