„Elsőrendű logika” változatai közötti eltérés

a
Visszaállítottam a lap korábbi változatát 84.0.15.155 (vita) szerkesztéséről Turokaci szerkesztésére
a (Visszaállítottam a lap korábbi változatát 84.0.15.155 (vita) szerkesztéséről Turokaci szerkesztésére)
Címke: Visszaállítás
Az elsőrendű logikának az elsőrendű kijelentésekre vonatkozó, algebrai jellegű részét (elsősorban az elsőrendű logikai műveletek és a kvantorok elmélete, a velük kapcsolatos Boole-algebra jellegű struktúra tanulmányozása tartozik ide) pontatlanul '''predikátumkalkulus'''nak is szokás nevezni. Az elnevezés annyiban kifogásolható, hogy predikátumkalkulus létezik a többedrendű logikákban is, pl. másod- és harmadrendű predikátumkalkulus is létezik.
 
Az elsőrendű logika elméletének két fő - egymást nem kizáró, hanem kiegészítő - [[paradigma|paradigmája]] a szintaktikai és a szemantikai megközelítés. A ''szintaxis'' a logikai jelek, jelsorozatok, formulák formai jellemzésével foglalkozik; a ''szemantika'' pedig a jelek értelmezésével, azzal, miképp lehet kitölteni őket tartalommal és használni a matematikában, más tudományterületeken, illetve a köznapi életben ipari, kereskedelmi stb. alkalmazásokban.
 
Az elsőrendű logika [[bizonyításelmélet]] nevű ága inkább (de nem kizárólag) szintaktikai megközelítésből vizsgálja az elsőrendű nyelveket, míg a [[modellelmélet]] inkább a szemantikára koncentrál.
<br />
 
== Ágak, területek ==
 
Az elsőrendű logika főbb ágai, illetve fontosabb kutatási területei a következők:
* [[Bizonyításelmélet]] – az elsőrendű logikán belül neve [[Predikátumkalkulus]]. A logikai kalkulusok azzal foglalkoznak, miképp lehet az illető logikai elméletet axiomatikusan felépíteni. Megadunk néhány, általában szemantikai érvek alapján „elfogadott” formulát ('''axiómák''') és néhány szintaktikai '''levezetési szabály'''t, melyek segítségével „elfogadott” formulából „elfogadott” formulák gyárthatóak úgy, hogy ami nem gyártható le, az ne is számítson „elfogadottnak” ('''záradék'''). Ez a három összetevő (lásd: [[Definíció#Matematikai definíciófajták|rekurzív definíció]]) alkot egy kalkulust. A cél, hogy egyrészt minden „elfogadott” formulát le tudjunk vezetni (a kalkulus '''teljes''' legyen), másrészt minden levezethető formula „elfogadott” legyen (a kalkulus '''helyes''' legyen). Röviden szólva, minden igazságot bizonyítani lehessen, de egy hülyeséget sem. Az elsőrendű predikátumkalkulus fejlesztésében szerepet vállaló legfontosabb kutatók: [[Gottlob Frege|G. Frege]], [[Bertrand Russell|B. Russell]], [[David Hilbert|D. Hilbert]], [[Kurt Gödel|K. Gödel]], [[Gerhard Gentzen|G. Gentzen]], [[Leon Henkin|L. Henkin]], [[Alfred Tarski|A. Tarski]], [[John Alan Robinson|J.A. Robinson]], [[Jan Łukasiewicz|J. Łukasiewicz]]. A főbb elméletek, alágak:
** Az elsőrendű [[Hilbert-kalkulus]],
** Az elsőrendű [[Frege-kalkulus]]
 
Egy véges sok [[szimbólum]]ot tartalmazó, adott jelkészlet vagy ábécé feletti logikai nyelvben – [[Gottlob Frege|Frege]] nyomán <sup> [[Fogalomírás#Állandó és változó|ld. itt]] </sup> kétféle szimbólumot különböztetünk meg: állandókat és változókat. A modern elsőrendű logikában e megkülönböztetés a következőképp differenciálódott:
* A '''segédjel'''ek „értelmetlennek”, szakszerűbben „jelentés nélkülinek” <sup> [[#MIniesszé erről lentebb]] </sup> nevezhetőek, csak a formulák elválasztását és szintaktikai-pragmatikai támogatását végzik: az elsőrendű nyelvekben két segédjel van, a nyitó- és csukó zárójel ( ( és ) ); mellesleg megoldható lenne az is (az ún. [[lengyel jelölés]]sel vagy a [[Fogalomírás]]ban, de akár jelölési konvenciók/axiómák bevezetése által is), hogy ne is kelljen szerepelniük az elsőrendű logikában.
 
* Az '''állandók''' vagy '''konstansok''' értelme az adott nyelvben mindig ugyanaz. Kétféle állandót különböztethetünk meg a logikai nyelvekben:
** A '''logikai konstansok''', ide tartoznak a logikai összekötőjelek (<math> \lnot , \wedge , \vee , \rightarrow , \leftrightarrow , \equiv , = </math>) és a kvantorok ( <math> \forall , \exist </math> ), melyek adott halmazból az {„igaz”, „hamis”} (vagy {'''0''', '''1'''} ) halmazba képező, azaz logikai függvények
** A '''nem-logikai konstansok''', vagy egyszerűen csak konstansok, melyek nem ilyenek, azaz ún. ''individuum''okat jelölnek;
* A '''változók''' jelentése viszont nem feltétlenül állandó, ugyanazon formula egy-egy példányában (ha mondjuk a lap tetején vagy alján fordul elő) mást és mást jelenthet ugyanaz a szimbólum, még ha pontosan ugyanazon a helyen is van. Ezeknek a jeleknek a jelentését meg kell adni, ezt úgy mondjuk, hogy a jeleket '''interpretáljuk'''. Ezen belül a változókat is két csoportra oszthatjuk:
** '''logikai változók''' vagy '''individuumváltozók''' ezek adott interpretáción belül is többféle dolgot jelenthetnek, értékük megadását '''kiértékelés'''nek nevezzük;
** '''nem-logikai változók''' ezek a függvényjelek és a predikátumjelek, az ún. többfajtájú nyelvekben még az ún. fajtajelek is (hogy megkülönböztessük őket a logikai változóktól, gyakran csak „jeleknek” vagy „szimbólumoknak” nevezzük őket, és nem tekintjük őket „logikai értelemben vett” változóknak). Ezek értelme egy adott interpretációban nem változik.
 
----