„Racionális számok” változatai közötti eltérés

a
Visszaállítottam a lap korábbi változatát 149.200.92.56 (vita) szerkesztéséről Atobot szerkesztésére
a (Visszaállítottam a lap korábbi változatát 149.200.92.56 (vita) szerkesztéséről Atobot szerkesztésére)
Címke: Visszaállítás
Egyrészt a "tört" jóval általánosabb fogalom, a számok felírásának formáját és nem feltétlenül az értéküket írja le. Törteket lehet pl. kifejezésekből vagy függvényekből (vagy akár irracionális számokból) is készíteni. Ezért "tört" helyett rögtön szükségessé válik a pontosabb "törtszám" kifejezés. A tankönyvek általában úgy definiálják ezeket, mint olyan a/b alakú törteket, ahol a,b egészek, és a nem osztható maradék nélkül b-vel (ezek tehát olyan racionális számok, melyek nem egészek).
 
További gond, hogy az egész számok is felírhatóak törtek alakjában, ráadásul végtelen sokféle módon (pl. 2= 2/1 = 4/2 = 6/3 = ... ), tehát algebrai, formális értelemben az egész számok is tekinthetőek "törteknek" v. "törtszámoknak" (habár nem tekintjük őket annak). Másrészt (és a például adott egyenlőségeket a másik oldaláról nézve), a törtek értéke is lehet egész szám. Tehát a "tört" fogalom nem eléggé precíz, amennyiben olyankor kell használni, amikor a cél a számok nem egész voltának kihangsúlyozása. Ezért szükséges a pontosabb „törtszám” kifejezés használata.
 
A matematika több ágában, így pl. a [[diofantikus approximáció]]k elméletében, ugyanakkor sok esetben kényelmesebb az egészekről és a törtszámokról egy kifejezéssel beszélni, őket egy kategóriába sorolni (az egészek és a törtszámok között sokkal kisebb az elméleti törés, sokkal több a hasonlóság, mint a törtek és az irracionális számok között). Így szükség van egy olyan kifejezésre, ami alá az egészek és a törtszámok is tartoznak, viszont kifejezések, függvények stb. nem. Így jutunk (pontosabban ezért juthatunk) a "racionális szám" fogalmához.
 
== Aritmetika ==
Két racionális szám, <math>\frac{a}{b}</math> és <math>\frac{c}{d}</math> [[Bikondicionális|akkor és csak akkor]] egyenlők, ha <math>ad = bc.</math>
 
A racionális számoknak létezik additív és a nullától különbözőknek multiplikatív inverze:
:<math>- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}</math>
&nbsp; <!-- spacer-->
: <math>\frac{c}{d} \; := \; \frac{a\div e}{b\div e}</math>
ahol
: <math>e := \sgn(b) \cdot \operatorname{abs}\bigl(\operatorname{lnko}(a,b)\bigr) </math>,
A racionális számok tört alakja egy vét y. Ha azonban több számmal kell összeadást, kivonást vagy ö{{Portál|Matematika}}
<math>\operatorname{lnko}(a,b) </math> az <math>a, b</math> egész számok [[legnagyobb közös osztó]]ja, ami kiszámítható például [[euklideszi algoritmus]]sal. Ha <math>n</math> egész szám, akkor tovább nem egyszerűsíthető tört alakja <math>\tfrac n1.</math>
==Rendezés==
A racionális számok rendezése megadható úgy, mint:
:<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \qquad :\Longleftrightarrow \qquad a\sgn(b)\operatorname{abs}(d) < \operatorname{abs}(b)c\sgn(d)</math>
ahol <math><</math> az egész számok szokásos rendezése, <math>\sgn</math> a [[szignumfüggvény]] és <math>\operatorname{abs}</math> az [[abszolútérték]]. A bővítés és az egyszerűsítés nincs hatással az összehasonlításra. Ez a rendezés az egész számok rendezésének kiterjesztése, ugyanis <math>b=\sgn(b)=\operatorname{abs}(b)=d=\sgn(d)=\operatorname{abs}(d)=1</math>.
 
Ha két pár ekvivalens, akkor sem <math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math> &nbsp; &nbsp; sem &nbsp; &nbsp; <math>\frac{c}{d} < \frac{a}{b}</math> nem teljesül. A rendezés egyik alaptulajdonsága a [[trikhotómia]]:
:*<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math>
:*<math>\frac{a}{b} \sim \frac{c}{d}</math>
:*<math>\frac{c}{d} < \frac{a}{b}.</math>
Ezzel <math>(\Q,<)</math> teljesen rendezett halmaz.
 
Ezen a rendezésen alapul a racionális számok definíciója [[Dedekind-szelet]]ekkel.
 
== Történetük ==
=== Egyiptomi törtek ===
Minden pozitív racionális szám felírható véges sok különböző pozitív egész reciprokának összegeként. Például:
 
: <math>\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} </math>
 
Sőt, minden pozitív racionális számnak végtelen sok ilyen formájú, különböző felírása lehetséges. Ezt az alakot ''egyiptomi tört''nek is nevezzük, mivel már az ókori Egyiptomban is használták, akik egyébként a [[diadikus tört]]eket is a maitól eltérő alakban írták le.
 
== Formális definíció ==
A racionális számok precízen [[egész számok]] [[rendezett pár]]jaként definiálhatók: <math>\left(a, b\right)</math> ahol ''b'' nem nulla. Az összeadást és szorzást ezeken a párokon a következőképp definiáljuk:
: <math>\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)</math>
: <math>\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)</math>
 
Annak érdekében, hogy teljesüljön az elvárt <math>\frac{2}{4} = \frac{1}{2}</math> tulajdonság, definiálni kell egy [[ekvivalenciareláció]]t is (<math>\sim</math>) a következőképpen:
 
: <math>\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \Leftrightarrow ad = bc</math>
 
Ez az ekvivalenciareláció kompatibilis a fent definiált összeadással és szorzással. Legyen ezután '''Q''' az ekvivalenciaosztályok halmaza, más szóval azonosnak tekintjük az (''a'', ''b'') és a (''c'', ''d'') párt, ha ekvivalensek. (Ez a konstrukció elvégezhető minden [[integritástartomány]] esetében, lásd [[hányadostest]].)
 
Az így kapott számok halmazán a [[Rendezett halmaz|teljes rendezés]] is definiálható:
: <math>\left(a, b\right) \le \left(c, d\right) \Leftrightarrow (bd>0 \wedge ad \le bc) \vee (bd<0 \wedge ad \ge bc)</math>
 
A racionális számok halmaza tartalmaz az egész számokkal ekvivalens halmazt: a<math>z\in\Z</math> egész számhoz <math>\tfrac z1</math> rendelhető. Ezt úgy szokták kifejezni, hogy az egész számok is racionálisak.
 
== Tulajdonságok ==
A racionális számok halmaza (<math>\mathbb{Q}</math>) az [[a racionális számok összeadása|összeadás]] és a [[szorzás]] műveletével [[test (algebra)|testet]] alkot. Ez a test az egész számok (<math>\mathbb{Z}</math>) [[hányadostest]]e. A legszűkebb test, ami tartalmazza a természetes számokat, mivel <math>\mathbb{Z}</math> a legszűkebb gyűrű, ami tartalmazza a természetes számokat.
 
A racionális számok halmaza a legszűkebb 0 [[karakterisztika|karakterisztikájú]] test. Minden egyéb 0 karakterisztikájú test tartalmazza a racionális számok testének egy izomorf képét. A valós számok [[prímtest]]e is, és mint prímtest, [[merev test (algebra)|merev]], azaz [[automorfizmuscsoport]]ja egyelemű.
 
A racionális számok [[algebrai lezárt]]ja (azaz a racionális együtthatós polinomok gyökeit is tartalmazó legszűkebb test) az [[algebrai szám]]ok halmaza.
 
A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, vagyis sorozatba rendezhető. Ez azt jelenti, hogy <math>\Q</math> és <math>\N</math> egy-egyértelműen megfeleltethető egymásnak, azaz minden <math>q</math> racionális számhoz rendelhető egy <math>n</math> természetes széám, és megfordítva. Ilyen sorozatokat lehet alkotni Cantor első átlós érvével vagy vagy a Stern-Brocot-fával. Mivel a [[valós számok]] [[számosság]]a ennél nagyobb, így mondhatjuk, hogy a valós számok túlnyomó többsége irracionális.
 
A sűrűség ellenére nincs olyan valós-valós függvény, ami csak a racionális számokon folytonos. Ezzel szemben van olyan, ami az irracionális számokon folytonos, de a racionálisokon nem.
 
A racionális számok halmazának [[Lebesgue-mérték]]e nulla.
 
A racionális számok [[sűrűn rendezett halmaz]]t alkotnak: bármely két különböző racionális szám között van egy harmadik, (és így végtelen sok). Jelölje a két adott számot <math>\tfrac{a}{b}</math> és <math>\tfrac{c}{d}</math>! Ekkor a számtani közepük is racionális:
:<math>\frac{ad+bc}{2bd}</math>.
A sűrűség azt is jelenti, hogy bármely racionális szám tetszőlegesen pontosan közelíthető racionális számokkal.
A [[rendezett halmaz]]ok között pontosan a racionális számok halmaza (meg a vele izomorfak) azok, amelyek megszámlálhatóak, sűrűn rendezettek és nincs legkisebb vagy legnagyobb elemük ([[Georg Cantor]] tétele).
 
Egy valós szám racionális, ha algebrailag elsőfokú. Ezzel a racionális számok az [[algebrai számok]] <math>\mathbb A</math> testének részhalmaza.
==Osztó algoritmusok==
A racionális számok tört alakja egy el nem végzett osztás formájában ábrázolja a számot. A tiszta matematika számára általában elég is ez az ábrázolás, legfeljebb tovább nem egyszerűsíthető alakra hozásra van igény. Ha azonban több számmal kell összeadást, kivonást vagy összehasonlítást végezni, akkor érdemes a számokat közös nevezőre hozni. Ezekhez a műveletekhez lehet a számokat vegyes tört alakban ábrázolni, és csak a törtrészt közös nevezőre hozni. A vegyes tört alakra hozás a maradékos osztás elvégzésének felel meg.
 
Az osztást akkor tekintik elvégzettnek, ha egy helyi értékes számrendszerben meghatározták a szám (egy alakjának) összes számjegyét. Ehhez az osztást elég egy periódusig vinni, hiszen a racionális számok végtelen szakaszos tizedestörtek. Ehhez az algoritmusok három csoportját alkották meg:
*Írásbeli algoritmusok
*Számítógépes algoritmusok:
:*Rögzített hosszúságú számokra
:*Tetszőleges hosszúságú számokra.
 
Az utóbbira példák:
*SRT-osztás
* Goldschmidt-osztás
* Newton-Raphson-osztás
Az utóbbi két algoritmus a nevező reciprokát veszi, amit megszoroz a számlálóval. Ezeket az eljárásokat rögzített hosszúságú számokra is használják. Például az SRT-osztást használták az Intel Pentium processzoraihoz, de hiba csúszott a megvalósításba.
==Tizedestört alak==
A valós számoknak van tizedestört alakjuk. A racionális számok ezek közül a szakaszos tizedestörtek.
Az irracionális számok tizedestört alakja nem periodikus.
 
A véges tizedestörtek pontosan azok, ahol a tovább nem egyszerűsíthető tört vagy áltört alak nevezője osztója az alap valamelyik hatványának. Ekvivalensen, a nevező prímtényezői az alap prímtényezői közül kerülnek ki. A véges tizedestörtek is szakaszos tizedestörtek; a véges rész az előszakasz, a periódus nulla számjegyből áll. A tizedestört alak nem mindig egyértelmű; a véges tizedestörtként írható racionális számoknak van egy másik tizedestört alakjuk is, ami megkapható a véges tizedestört alak utolsó számjegyét eggyel csökkentve, utána a szakaszt csupa kilencessel kitöltve. Lásd: [[0,999…]]
 
Hasonlósak érvényesek más, <math>g\in \Z \setminus \{-1,0,1\}</math> egész alapú számrendszerben, ahol a kilencesek szerepét az alapnál eggyel kisebb számjegy veszi át. A periódust vagy felülvonással, vagy két ponttal jelzik.
 
Példák:
:{|
| <math>\tfrac 13</math> || <math>= 0{,}\overline{3}</math> || <math>= 0{,}33333 \dotso</math> || <math>= \left[0{,}\overline{01}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 97</math> || <math>= 1{,}\overline{285714}</math> || <math>= 1{,}285714 \ 285714 \dotso</math> || <math>= \left[1{,}\overline{010}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 15</math> || <math>= 0{,}2\overline{0} = 0{,}1\overline{9}</math> || <math>= 0{,}20000 \dotso = 0{,}19999 \dotso </math> || <math>= \left[0{,}\overline{0011}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 12</math> || <math>= 0{,}5\overline{0} = 0{,}4\overline{9}</math> || <math>= 0{,}50000 \dotso = 0{,}49999 \dotso </math> || <math>= \left[0{,}1\overline{0}\right]_2 = \left[0{,}0\overline{1}\right]_2</math>
|-
| <math>1 = \tfrac 11</math> || <math>= 1{,}\overline{0} = 0{,}\overline{9}</math> || <math>= 1{,}00000 \dotso = 0{,}99999 \dotso</math> || <math>= \left[1{,}\overline{0}\right]_2 = \left[0{,}\overline{1}\right]_2</math>
|}
 
Az [[Euler–Fermat-tétel]] szerint, ha a nevező <math>n\in \N_{>1}</math>, és hozzá az alap <math>g\in \N</math> relatív prím, akkor
:<math>g^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n</math>
ahol <math>\varphi</math> az [[Euler-függvény|Euler-féle phi-függvény]]. Az <math>1/n</math> szakaszának hossza megegyezik az <math>l:=\operatorname{ord}_n(g)</math> [[csoportelem rendje|renddel]], ahol <math>\left[g\right]</math> [[maradékosztály]] a <math>\Z/n\Z</math> modulo <math>n</math> [[maradékosztálygyűrű]]jének <math>(\Z/n\Z)^\times</math> [[prím maradékosztály]]ában. [[Lagrange tétele]] szerint <math>l</math> osztója a [[csoport (algebra)|csoport]] <math>\varphi(n)</math> rendjének. Az
:<math>x := (g^l-1)/n </math>
pozitív egész <math>< g^l </math>, és <math>1/n</math> <math>g</math> alapú bázisba fejtve kapott jegyei a <math>g</math>-adikus ábrázolásban ugyanezek a jegyek köszönnek vissza:
:<math>x \cdot \sum_{i=1}^{\infty} \left( g^l \right)^{-i} = \frac{x}{ g^l -1} = \frac1n</math>
Például a fenti táblázatban az 1/3 periódushossza a tízes alapú bázisban <math>\operatorname{ord}_3(10)=1</math>, és jegyeinek sorozata <math>x=\overline{3}</math>. Kettes alapú számrendszerben a szakasz hossza <math>\operatorname{ord}_3(2)=2</math>, és a jegyek sorozata <math>x=\overline{01}</math>.
 
Egy adott <math>n>1</math> nevező esetén a szakasz hossza pontosan akkor <math>l:=\operatorname{ord}_n(g)=\varphi(n)</math>, ha <math>g</math> [[primitív gyök]] modulo <math>n</math>. Primitív gyök akkor van, ha az <math>(\Z/n\Z)^\times</math> prím maradékosztálycsoport [[ciklikus csoport|ciklikus]], azaz ha <math>n \in \{2, 4, p^r, 2p^r \; \; | \; \; 2 < p \in \mathbb{P}; \; r \in \mathbb{N}\} .</math> Különben a periódus hossza <math>\varphi(n) </math> valódi osztója.
 
Az alábbi táblázat <math>g = 2, 3, 5</math> és <math>10</math> esetét mutatva azt a benyomást kelti, hogy a maximális szakaszhossz gyakori. Például a <math>n = 7, 17, 19, 23, 29 </math> prímszámok reciprokainak szakaszhossza <math>\varphi(n) = n-1 = 6, 16, 18, 22, 28 </math>. A <math>n = 12, 15, 21, 33, 35</math> összetett számok esetén a maximális hossz <math>\operatorname{ord}_n(g)\le\varphi(n)/2 </math>. A <math>\varphi(n) </math> hosszú periódusok ki vannak emelve. A legrosszabb eset [[Landau-szimbólum|<math>\mathcal{O}(n)</math>]], míg átlagos esetben az <math>n</math> szám <math>\scriptstyle \operatorname{len}_g(n)</math> hossza a <math>g</math> alapú számrendszerben <math>\mathcal{O}(\log n)</math>. A 802787 prímszám reciprokának periódushossza kettes számrendszerben 802786, tízes számrendszerben 401393. Ez túl sok ahhoz, hogy a táblázatban szerepeljen.
 
{| style="text-align:right;"
|- class="hintergrundfarbe6"
| <math>\textstyle n</math> || style="width:2em"|3||style="width:2em"|5||style="width:2em"|7||style="width:2em"|9||style="width:2em"|11||style="width:2em"|12||style="width:2em"|13||style="width:2em"|15||style="width:2em"|17||style="width:2em"|19||style="width:2em"|21||style="width:2em"|23||style="width:2em"|25||style="width:2em"|27||style="width:2em"|29||style="width:2em"|31||style="width:2em"|33||style="width:2em"|35||style="width:2em"|37||802787
|- class="hintergrundfarbe8"
| style="text-align:left;" | <math>\textstyle \varphi(n)</math> || 2||4||6||6||10||''4''||12||''8''||16||18||''12''||22||20||18||28||30||''20''||''24''||36||802786
|- class="hintergrundfarbe3"
| style="text-align:left;" | <math>\textstyle \operatorname{ord}_n(2)</math> || 2||'''4'''||3||'''6'''||'''10'''||–||'''12'''||'''4'''||8||'''18'''||'''6'''||11||'''20'''||'''18'''||'''28'''||5||'''10'''||'''12'''||'''36'''||'''802786'''
|-
| style="text-align:left;" | <math>\scriptstyle \operatorname{len}_2(n)</math>||<small>2</small> ||<small>3</small> ||<small>3</small> ||<small>4</small> ||<small>4</small> ||– ||<small>4</small> ||<small>4</small> ||<small>5</small> ||<small>5</small> ||<small>5</small> ||<small>5</small> ||<small>5</small> ||<small>5</small> ||<small>5</small> ||<small>5</small> ||<small>6</small> ||<small>6</small> ||<small>6</small> ||<small>20</small>
|- class="hintergrundfarbe3"
| style="text-align:left;" | <math>\textstyle \operatorname{ord}_n(3)</math> || –||'''4'''||'''6'''||–||5||–||3||–||'''16'''||'''18'''||–||11||'''20'''||–||'''28'''||'''30'''||–||'''12'''||18||401393
|-
| style="text-align:left;" | <math>\scriptstyle \operatorname{len}_3(n)</math>||–||<small>2</small> ||<small>2</small> ||–||<small>3</small> ||–||<small>3</small> ||–||<small>3</small> ||<small>3</small> ||–||<small>3</small> ||<small>3</small> ||–||<small>4</small> ||<small>4</small> ||–||<small>4</small> ||<small>4</small> ||<small>13</small>
|- class="hintergrundfarbe3"
| style="text-align:left;" | <math>\textstyle \operatorname{ord}_n(5)</math> || 2||–||'''6'''||'''6'''||5||'''2'''||4||–||'''16'''||9||'''6'''||'''22'''||–||'''18'''||14||3||'''10'''||–||'''36'''||'''802786'''
|-
| style="text-align:left;" | <math>\scriptstyle \operatorname{len}_5(n)</math>||<small>1</small> ||–||<small>2</small> ||<small>2</small> ||<small>2</small> ||<small>2</small> ||<small>2</small> ||–||<small>2</small> ||<small>2</small> ||<small>2</small> ||<small>2</small> ||–||<small>3</small> ||<small>3</small> ||<small>3</small> ||<small>3</small> ||–||<small>3</small> ||<small>9</small>
|- class="hintergrundfarbe3"
| style="text-align:left"| <math>\textstyle \operatorname{ord}_n(10)</math> || 1||–||'''6'''||1||2||–||6||–||'''16'''||'''18'''||'''6'''||'''22'''||–||3||'''28'''||15||2||–||3||401393
|-
| style="text-align:left;" | <math>\scriptstyle \operatorname{len}_{10}(n)</math>||<small>1</small> ||–||<small>1</small> ||<small>1</small> ||<small>2</small> ||– ||<small>2</small> ||–||<small>2</small> ||<small>2</small> ||<small>2</small> ||<small>2</small> ||–||<small>2</small> ||<small>2</small> ||<small>2</small> ||<small>2</small> ||–||<small>2</small> ||<small>6</small>
|}
 
== Valós számok ==
 
A racionális számok a valós számok halmazának sűrű részhalmazát alkotják, azaz minden valós számhoz tetszőlegesen közel vannak racionális számok.
Ugyancsak igaz, hogy a racionális számok pontosan a véges lánctört formájában írható valós számok.
 
Mivel rendezett halmazt alkotnak, a racionális számokat elláthatjuk a
[[rendezéstopológia|rendezéstopológiával]]. Ez azonos a valós számok rendezéstopológiájának altértopológiájával, továbbá egyben [[metrikus tér]] is, a következő metrikával: <math>d\left(x, y\right) = |x - y|</math>.
 
E topologikus tér a műveletekkel [[topologikus test]]et alkot. A racionális számok topológiája nem [[lokálisan kompakt tér|lokálisan kompakt]]. Ez a tér úgy is jellemezhető, hogy az egyetlen [[megszámlálható]] metrikus tér, amiben nincsenek [[izolált pont]]ok. A tér továbbá [[Összefüggőség (topológia)|teljesen széteső]]. A racionális számok tere nem [[Metrikus tér|teljes]], teljes lezártja a valós számok tere.
 
== ''p''-adikus számok ==
 
A fent említett, a szokásos abszolút értékből definiált metrikán kívül vannak más, nem kevésbé fontos metrikák is, amelyek <math>\mathbb{Q}</math>-t topologikus testté szervezik:
 
legyen <math>p</math> tetszőleges [[Prímszámok|prímszám]], definiáljuk minden nemnulla egész <math>a</math> esetén <math>\vert a \vert _p = p^{-n}</math>-t, ahol <math>n</math> <math>p</math> legnagyobb hatványának kitevője, ami [[oszthatóság|osztja]] <math>a</math>-t; legyen továbbá <math>\vert 0 \vert_p = 0</math>. Tetszőleges <math>\frac{a}{b}</math> racionális szám esetén legyen <math>\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{\vert a \vert _p}{|b|_p}</math>.
 
Ekkor <math>d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p</math> metrikus teret definiál <math>\mathbb{Q}</math>-n. Ez a tér, <math>\left(\mathbb{Q}, d_p\right)</math> nem lesz teljes, teljes burka a [[p-adikus számok]] <math>\mathbb{Q}_p</math> teste lesz.
 
== Források ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html A racionális számok a MathWorld-ön]
==Fordítás==
{{fordítás|de|Rationale Zahl}}
 
{{Számhalmazok}}
{{Nemzetközi katalógusok}}
{{Portál|Matematika}}
 
[[Kategória:Számok]]