„Valószínűségi mező” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a + betűköz |
|||
3. sor:
== Definíció ==
A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan [[Mérték (matematika)|mértéktér]], ahol a teljes tér mértéke
Legyen <math>\Omega</math> tetszőleges halmaz
* <math>\emptyset \in \mathcal A</math>, vagyis az üreshalmaz <math>\mathcal A</math>-beli,
* minden <math>A \in \mathcal A</math> halmaz esetén <math>\Omega \setminus A\in \mathcal A</math>, vagyis az <math>\Omega</math>-ra vett [[komplementer halmaz]] is <math>\mathcal A</math>-beli, és
* minden <math>(A_n)\subseteq \mathcal A</math> halmazsorozat esetén <math>\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal A</math>,
* <math>P(\emptyset)=0</math>, és▼
és létezik egy <math>P:\mathcal A \to [0,1]</math> [[Mérték (matematika)|mérték]], hogy
* <math>P(\Omega)=1</math>, és
* minden <math>(A_n)\subseteq \mathcal A</math> páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén <math>P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)</math>,
ha <math>P(\Omega)=1</math>, akkor az <math>(\Omega,\mathcal A,P)</math> mértékteret valószínűségi mezőnek nevezzük.▼
▲
[[Fájl:Probability-measure.svg|thumb|410px|Szerencsekerék modellezése valószínűségi mezővel: az összes lehetséges kimenetel itt <math>\Omega=\{1,2,3\}</math>. Az <math>\Omega</math> alaphalmaz részhalmazainak valószínűségét szektorának szögének a teljesszöghöz viszonyított nagysága adja meg]]▼
Ez a definíció azt is jelenti, hogy a valószínűség tisztán axiomatikus alapokon mérhető, és nemcsak empirikusan, ahogy azt [[von Mises]] leírta. Alapvető az alapgondolat, hogy a véletlen kísérlet összes kimenetét egymást kizáró eseményekként adják meg. Például egy szerencsekerék csak egy pozícióban állhat meg, ami egy adott null pozícióhoz képest mérhető. A mellékelt kép által mutatott példában csak az 1, 2, 3 számokhoz tartozó tartományokban állhat meg; egy mechanizmus akadályozza meg, hogy pont két szám határára essen (aminek egyébként is nulla a valószínűsége). Emiatt nem következhet be két elemi esemény, ezek diszjunktak. Ez alapozza meg az összeadási tétel kiterjesztését: Véges sok, egymást kölcsönösen kizáró esemény együttes valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege.▼
▲[[Fájl:Probability-measure.svg|
▲Ez a definíció azt is jelenti, hogy a valószínűség tisztán axiomatikus alapokon mérhető, és nemcsak empirikusan, ahogy azt [[Richard von Mises|von Mises]] leírta. Alapvető az alapgondolat, hogy a véletlen kísérlet összes kimenetét egymást kizáró eseményekként adják meg. Például egy szerencsekerék csak egy pozícióban állhat meg, ami egy adott null pozícióhoz képest mérhető. A mellékelt kép által mutatott példában csak az 1, 2, 3 számokhoz tartozó tartományokban állhat meg; egy mechanizmus akadályozza meg, hogy pont két szám határára essen (aminek egyébként is nulla a valószínűsége). Emiatt nem következhet be két elemi esemény, ezek diszjunktak. Ez alapozza meg az összeadási tétel kiterjesztését: Véges sok, egymást kölcsönösen kizáró esemény együttes valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege.
== Elnevezések ==
| |||