|
Egy tetszőleges (''a'', ''b'') intervallumonnyílt [[intervallum]]on '''valós analitikusnakanalitikus'''nak nevezünk egy [[függvény (matematika)|függvényt]], ha az adott intervallumon előállítja őt a [[Taylor-sorasor]]a. Egy függvényt '''egész függvénynekfüggvény'''nek nevezünk, ha mindenhol előállítja őt a Taylor-sora.
Az analitikus függvények átmenetet képeznek a [[polinompolinomfüggvény]]okek és az általános függvények között, olyan értelemben, hogy számos "szép"„szép”, a polinomoknál megszokott tulajdonsággal rendelkeznek, deazaz aviszonylag egyszerűen kezelhetők, de polinomoktól lényegesen különböző függvények is lehetnek analitikusak – lásd a példákat lentebb.
== Definíciók ==
Formálisan egy '''f''' függvény '''valós analitikus''' a [[valós számok]] egy '''D''' [[nyílt halmazánhalmaz]]án, ha bármely olyan '''x<submath>0x_0</submath>'''-ra, melyamely része a '''D'''-nek, felírható a írhatókövetkező:
:<math>
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots
</math>
ahol az '''a<submath>0a_0</submath>, a<submath>1a_1</submath>, ...''' együtthatók valós számok és a [[Numerikus sorok|sor]] [[Konvergencia (matematika)|konvergens]] '''x'''-re '''x<submath>0x_0</submath>''' valamely [[Környezet (matematika)|környezetében]].
Ezzel'''Egy másik, ekvivalens definíció:'''
analitikusAnalitikus függvénynek nevezzük az olyan végtelenszer [[Differenciálhatóság|differenciálható]] függvényeket, amelyeknek egy az [[értelmezési tartományukbantartomány]]ukban lévő ''x''<submath>0x_0</submath> pont körüli [[Taylor sora-sor]]a
:<math>
</math>
és ''x''<submath>0x_0</submath> egy környezetében ''f''(''x'')-hez [[Konvergencia (matematika)|konvergál]].
== Példák ==
* Példák analitikus függvényekre:
** bármely polinom[[polinomfüggvény]] analitikus (valós és komplex esetben is), mivel egy polinom ''n''-ed fokú, így bármeny ''n''-nél magasabb fokú deriváltja nulla, így a Taylor-sora triviálisan konvergens aza egészteljes [[értelmezési tartományántartomány]]án ('''ami az <math>\mathbb{R'''}</math>), tehát egész;
** az [[exponenciális függvény]] (e<sup>''x''</sup> függvény ([[exponenciális függvény]], exp(''x'')), és általában a tetszőleges alapú exponenciális függvények (''a''<sup>''x''</sup>) aza egészteljes értelmezési tartományukon <math>('''\mathbb{R'''})</math> analitikusak, így definíció szerint egészek;
** a [[Szögfüggvények|trigonometrikus]] és [[hiperbolikus függvények]] egészteljes értelmezési tartományukon <math>('''\mathbb{R'''})</math> előállíthatók Taylor-sorukkal, így egész függvények;
** a [[logaritmus|logaritmikus függvények]] az értelmezési tartományuk egy tetszőleges halmazán[[részhalmaz]]án analitikusak.
*Példák nem analitikus függvényekre:
** az [[abszolút értékabszolútérték]] -függvény nem analitikus mindenhol, mert a nullában nem differenciálható;
** az alább definiált <math>f(x)</math> függvény az ''x''=0 helyet tartalmazó intervallumon nem analitikus, mert ott Taylor-sora a konstans nullát állítja elő:
::<math>
f(x)=\begin{cases}
</math>
== Tulajdonságok ==
==Analitikus függvények tulajdonságai==
*Analitikus függvények összege, szorzata és kompozíciója is analitikus .
*Analitikus függvény reciproka[[reciprok]]a akkor analitikus, ha a függvénynek nincs zérushelye.
*Analitikus függvény inverze akkor analitikus, ha (létezik és) a [[derivált]]jának nincs zérushelye.
A polinomoknakpolinomfüggvényeknek nem lehet "túl„túl sok"sok” zérushelye, kivéve ha a polinom maga a konstans nulla, mivel a fokszám felső korlát a zérushelyek számára. Hasonló, bár gyengébb állítás igaz az analitikus függvényekre: Ha egy analitikus függvény zérushelyeinek a halmaza tartalmaz torlódási pontot, akkor a függvény a konstans nulla az értelmezési tartományának azon összefüggő halmazán, amely a torlódási pontot tartalmazza.
Továbbá, ha egy analitikus függvényfüggvénynek egyvalamely ''x<submath>0x_0</submath>'' pontbeli összes deriváltja[[derivált]]ja nulla, akkor a függvény konstans (nem feltétlenül konstans nulla!) értelmezési tartományának azon az összefüggő halmazán amely az ''x<submath>0x_0</submath>'' pontot tartalmazza
A fentiekből adódóan, az analitikus függvényeknek nagyobb a szabadsági foka mint a polinomoknak, bár még így is rendkívül speciálisak a valós függvények között.
==Mátrixokkal való kapcsolat==
Analitikus függvényeket definiálhatunk [[hatványsor]]ukkal, ezáltal nemcsak színtiszta analízisbeli definíciókhoz jutunk ( Aa trigonometrikus függvények esetében nincs szükség a [[szög]] fogalmára. ), de az analitikus függvények egy meglepő tulajdonságára is fény derül, mégpedig, hogy [[négyzetes mátrixokramátrix]]okra alkalmazhatunk analitikus függvényeket. Ezt hatványsoruk[[hatványsor]]uk segítségével tehetjük meg, hiszen ott csak [[mátrix (matematika)|mátrix]]ok hatványai, mátrix és szám különbsége, mátrix és szám szorzata áll. A mátrixhatványozás létező művelet; mátrixot számmal úgy szorzunk, hogy a mátrix minden elemét megszorozzuk a számmal; mátrix és szám különbségét úgy értelmezzük, hogy vesszük a szám helyett az [[egységmátrix|identikus mátrix]] számmal való szorzatát és ezt vonjuk ki a mátrixból.
== Irodalom ==
* I. N. Bronstein, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig: ''Matematikai kézikönyv'', ([[Typotex könyvkiadóKiadó]], [[Budapest]], 2006,) (695. oldal),. {{ISBN|978-963-9326-53-8}}
* Teodor Bulboacă, Petru T. Mocanu: ''Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe'', (Ábel könyvkiadóKönyvkiadó, [[Kolozsvár]], 2003,) {{ISBN|973-8239-91-5}}
* {{fordítás|en|Analytic_function}} ▼
== Források ==
* BME Analízis 1. előadása
{{portál|matematika|i |}}
▲* {{fordítás|en|Analytic_function}}
[[Kategória:Valós analízis]]
| 