„Lineáris leképezés” változatai közötti eltérés

Apró módosítás
(Apró módosítás)
* additivitás: <math>\mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)</math>
 
* [[homogén függvény|homogenitás]]: <math>\mathcal{A}(\lambda\mathbf{v})=\lambda\mathcal{A}(\mathbf{v})</math>
 
A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy <math>\mathcal{A}</math> megtartja a [[lineáris kombináció]]képzést, azaz bármely ''n'' [[természetes szám]] esetén minden ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, … , ''λ''<sub>''n''</sub> <math>\mathbb{T}</math>-beli elemre és ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, … , ''v''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' vektorra:
:<math>\mathcal{A}(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_n\mathbf{v}_n)=\lambda_1\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\lambda_2\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)+...+\lambda_n\mathcal{A}(\mathbf{v}_n)</math>.
 
Ha ''V'' és ''U'' megegyezik, akkor '''lineáris transzformáció'''ról beszélünk.
 
Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> egy <math>\mathbb{T}</math> feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az <math>\mathcal{A}</math> leképezés <math>\mathbb{T}</math>-'''lineáris'''. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a <math>\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>, <math>z \mapsto \overline{z}\,</math> [[Komplex konjugált|konjugálás]] ugyan <math>\mathbb{R}</math>-lineáris, de nem <math>\mathbb{C}</math>-lineáris.
 
A <math>V \rightarrow \mathbb{T}</math> típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) '''lineáris funkcionál'''oknak nevezzük. Például a [[duális tér]] elemei lineáris funkcionálok.
 
A '''lineáris leképezés rangja''' a képterének [[dimenzió (lineáris algebra)|dimenziója]], azaz
:<math>\operatorname{Im}(\mathcal{A}) := \{\,\mathbf{w} \in U: \mathbf{w} = \mathcal{A}(\mathbf{v}), \mathbf{v} \in V\,\}</math> módon definiált '''képtér''' esetén
:<math>\operatorname{rkrang}(\mathcal{A}) := \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(\mathcal{A}))</math>.
 
== Jelölése==
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy [[görög ábécé|görög betűvel]] jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:
: <math>\mathcal{O}</math>, <math>\underline{\underline{\mathcal{A}}}</math>, <math>\widehat{\mathcal{B}}</math>, <math>\widehat{\underline{\underline{C}}}</math>,<math>\varphi\,</math>, <math>\mathcal{A}\mathbf{v}</math>
 
Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> egy <math>\mathbb{T}</math> feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az <math>\mathcal{A}</math> leképezés <math>\mathbb{T}</math>-'''lineáris'''. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a <math>\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>, <math>z \mapsto \overline{z}\,</math> [[Komplex konjugált|konjugálás]] ugyan <math>\mathbb{R}</math>-lineáris, de nem <math>\mathbb{C}</math>-lineáris.
 
A <math>V \rightarrow \mathbb{T}</math> típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe képező lineáris leképezéseket) '''lineáris funkcionál'''oknak nevezzük. Például a [[duális tér]] elemei lineáris funkcionálok.
 
== Fajtái==
 
==Mátrixreprezentáció==
Véges dimenziós [[vektortér|vektorterek]] közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott [[Vektortér#Bázis|bázisától]]. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített ''A'' ''m''×''n''-es [[mátrix (matematika)|mátrix]] mellett bármely ''xv'' ''n''-elemű vektorhoz az ''A·xv'' ''m''-elemű vektort rendeli.
 
LineárisUgyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor egya leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).
 
===Előírhatósági tétel===
akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz <math>\mathcal{A} = \mathcal{B}</math>.
 
Ez '''a lineáris leképezések előírhatósági tétele'''. Eszerint egy lineáris leképezést, ha ''n'' dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér ''n'' darab vektora egyértelműen meghatározza.
 
===Leképezés mátrixa===
* Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
* A hasonló mátrixok [[karakterisztikus polinom]]jai megegyeznek, és emiatt [[sajátérték]]eik is azonosak.
* Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix [[rang (lineáris algebra)|rangjával]]. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok [[rang (lineáris algebra)|rangjai]] megegyeznek.
 
==Lineáris leképezések tere==