Wikipédia

„Mátrix (matematika)” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Új kép
52. sor:
Ha <math>\mathcal{T}</math> [[gyűrű (matematika)|gyűrű]] (általában kommutatív gyűrű vagy [[test (algebra)|test]]), akkor az <math>m \times n</math>-es mátrixok <math>\mathcal{T}^{m \times n}</math> [[halmaz]]án a
:<math>A:\{1,2,...,m\}\times\{1,2,...,n\}\longrightarrow \mathcal{T}\quad\langle i,j\rangle\mapsto a_{ij}</math>
típusú, véges (<math>m \cdot n</math> elemszámú) értelmezési tartományú, <math>\mathcal{T}</math>-be képező [[függvény (matematika)|függvények]] halmazát értjük. Itt <math>\times</math> a halmazok [[Descartes-szorzat]]a, <math>\mbox{ }_{\langle i,j\rangle}</math> [[rendezett pár]].
 
== Példák ==
61. sor:
6&0&5\end{bmatrix}</math>
 
Az <math>''A</math>'' mátrix egy <math>4 \times 3</math>4×3-as mátrix. Az <math>A[2, 3]</math> vagy <math>a_{2,3}</math> elem a 7.
 
: <math>R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}</math>
 
Az <math>''R</math>'' mátrix egy <math>1 \times 9</math>1×9-es mátrix vagy 9 elemű sorvektor.
 
== Műveletek mátrixokkal ==
=== Transzponálás ===
[[Fájl:Matrix transpose.gif|bélyegkép|jobbra|210px|A transzponálást kétszer egymás után végrehajtva visszakapjuk az eredeti mátrixot]]
A transzponálás egy argumentumú művelet. Egy mátrix transzponálása sorainak és oszlopainak a felcserélését jelenti. Egy <math>''m \times ''×''n</math>''-es mátrix transzponáltja <math>''n \times ''×''m</math>''-es. Kétszer végrehajtva visszakapjuk az eredeti mátrixot. A transzponálás jele <math>A^T</math> vagy <math>A^{\prime}</math>.
 
Egy mátrix szimmetrikus, ha transzponáltja önmaga, azaz <math>A^T = A</math>. [[Szimmetrikus mátrix]] csak [[négyzetes mátrix]] (lásd alább) lehet.
 
==== Példa ====
144 ⟶ 145 sor:
* <math>(a + b)M = aM + bM</math>
* <math>a(bM) = (ab)M = (ba)M = b(aM)</math>
Az összeadás viszonyában teljesül, hogy:még a
* (mindkét oldali) [[disztributivitás]]: <math>a(M + N) = aM + aN</math>
 
=== Mátrixszorzás ===
289 ⟶ 290 sor:
 
=== Diadikus szorzás ===
Az <math>''n</math> ''-dimenziós [[való számok|valós]] vektortér <math>\mathbf{a}</math> és <math>\mathbf{b}</math> vektorainak diadikus szorzatán értjük és <math>\mathbf{a}\circ\mathbf{b}</math>-vel jelöljük azt a [[tenzor]]t, mely a vektortérbe tartozó minden egyes <math>\mathbf{r}</math> vektorhoz az <math>\mathbf{a}(\mathbf{b}\mathbf{r})</math> vektort rendeli.
 
=== Hadamard-szorzat ===
{{bővebben|Hadamard-szorzat}}
Két mátrix elemenkénti szorzatát [[Hadamard-szorzat|Hadamard-]] vagy Schur-szorzatnak hívják, elemei:
 
414 ⟶ 416 sor:
 
== Vektorterek ==
Ha <math>R</math> kommutatív, egységelemes [[gyűrű (matematika)|gyűrű]], akkor a fölötte definiált <math>''n \times ''×''m</math>''-es mátrixok a mátrixösszeadásra és a skalárral való szorzásra [[Modulus (matematika)|modulust]] alkotnak ''R'' fölött. Az <math>A^T \cdot B</math> mátrixszorzat nyoma
:<math>\left\langle A,B\right\rangle = \operatorname{Tr}(A^TB)
=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_{ij}b_{ij}</math>
 
[[skalárszorzat]] a mátrixok tere fölött.
 
Speciálisan, ha az alapgyűrű [[test (algebra)|test]], akkor a mátrixok [[euklideszi vektortértér (lineáris algebra)|euklideszi vektorteretteret]] alkotnak. Ha <math>''n''=''m</math>'', akkor a térben a [[szimmetrikus mátrix|szimmetrikus]] és a [[ferdén szimmetrikus mátrixokmátrix]]ok alterei ortogonálisak, tehát <math>\begin{matrix}\left\langle A,B\right\rangle=0\end{matrix}</math>.
 
A komplex mátrixok szorzatának nyoma <math>\overline{A}^T \cdot B</math>
:<math>\left\langle A,B\right\rangle = \operatorname{Tr}(\overline{A^T}B)
=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \overline{a_{ij}}b_{ij}</math>
a [[Hilbert-Schmidt-skalárszorzat]], amivel a tér [[unitér tér]] lesz. Az általa indukált norma a [[Frobenius-norma]], amivel a mátrixok tere [[Banach-tér]].
 
A négyzetes mátrixok alkotta mátrixgyűrűkben az egységelem az identitásmátrix. Általánosságban, a főátlóján az alapgyűrű egységeleme, azon kívül nulleleme áll; számtestek esetén a főátlón egyeseket, azon kívül nullákat tartalmaz. A csupa nullelemet, illetve nullákat tartalmazó mátrix a nullmátrix, ami a mátrixgyűrű nullelemeként szolgál.
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Mátrix_(matematika)”