„Mátrix (matematika)” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
Fontos tudni, hogy a [[kommutativitás]] általában ''nem'' teljesül; vagyis adott <math>A</math> és <math>B</math> összeszorozható mátrixra általában igaz, hogy <math>AB \ne BA</math>.
 
A négyzetes mátrixok összeszorozhatók önmagukkal, ezért magasabb hatványaik is képezhetők. Skalár együtthatós polinomba is behelyettesíthetők; ekkor a konstans tagot a [[permanenciaelv]] alapján nulladik hatványnak definiált megfelelő méretű egységmátrixszal szorozzák össze. A polinomok segítségével más függvényeik is [[approximációKözelítő módszerek|approximálhatók]] [[hatványsor]]ok segítségével. Ezekhez a számításokhoz a mátrix [[Jordan-normálalakféle normálforma|Jordan-normálalakját]]ját használják, mert azzal egyszerűbb számolni.
 
Az ugyanolyan hosszú sor- és oszlopvektorok kétféleképpen is összeszorozhatók mátrixszerűen. Az egyik szorzat egy skalár, ami éppen a vektorok [[skaláris szorzat]]a, a másik egy négyzetes mátrix, a vektorok diadikus vagy tenzorszorzata.
== Négyzetes mátrix ==
{{bővebben|Négyzetes mátrix}}
A [[négyzetes mátrix]] olyan mátrix, melyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. Egy adott test feletti összes ''n''×''n''-es négyzetes mátrix a skalárral való szorzással, mátrixösszeadással és mátrixszorzással [[algebra (gyűrű)|algebrát]] alkot. Az ''n''>1 esetben az algebra általában nem [[Kommutativitás|kommutatív]].
 
Egy ''A'' mátrix '''főátló'''ja az <math>a_{ii}</math> alakú elemeket tartalmazza, tehát azokat, amelyek ugyanannyiadik sorban vannak, mint oszlopban. (Főátlónak tehát a bal fölső és a jobb alsó sarkot összekötő átlót hívjuk.)
=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_{ij}b_{ij}</math>
 
[[Skaláris szorzat|skalárszorzat]] a mátrixok tere fölött.
 
Speciálisan, ha az alapgyűrű [[test (algebra)|test]], akkor a mátrixok [euklideszi tér (lineáris algebra)|euklideszi teret]] alkotnak. Ha ''n''=''m'', akkor a térben a [[szimmetrikus mátrix|szimmetrikus]] és a [[ferdén szimmetrikus mátrix]]ok alterei ortogonálisak, tehát <math>\begin{matrix}\left\langle A,B\right\rangle=0\end{matrix}</math>.
 
== Irodalom ==
* [[Pattantyús-Ábrahám Géza]] (szerk.): ''[[Pattantyús: Gépész- és villamosmérnökök Kézikönyvekézikönyve|Gépész- és villamosmérnökök kézikönyve]]'' (Műszaki, 1961) 2. kötet.
* J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: ''Matematikai zsebkönyv'' (Műszaki, 1987) {{ISBN|963-10-5309-1}}
* A. G. Kuros: ''Felsőbb algebra'', Tankönyvkiadó, Budapest, 1975