„Vektor” változatai közötti eltérés

195 bájt törölve ,  2 évvel ezelőtt
nincs szerkesztési összefoglaló
(Elírás javítása.)
Címkék: Mobilról szerkesztett Mobil web szerkesztés Haladó mobilszerkesztés
 
A '''vektor''' – történeti szempontból – a [[Vektortér|vektorteret]] felépítő alap elem, a [[Matematika|matematikában]] olyan [[Tenzor|tenzor]], amely a [[Fizika|fizikában]] függ a [[Vonatkoztatási rendszer|vonatkoztatási rendszertől]], például az [[Eredő erő|eredő erőtől]].
 
,,Vektorok
 
Ismeretes, hogy a fizikában fontos szerepet játszanak a vektormennyiségek (pl. erő, sebesség stb.). Ezek meghatározásához nagyságukon kívül, irányukra is szükség van. Ábrázolásuk irányított szakaszok, vektorok segítségével történik. A vektorokkal való számolás, a geometriának ez a fontos és szemléletes módszere, a fizika szempontjából is nélkülözhetetlen."
==Általános leírás==
 
A '''vektor''' a [[matematika]] fontos fogalma. Egy vektort egyértelműen meghatároz az iránya, állása és nagysága (abszolút-értéke). Ennek ellenére a vektort nem definiálhatjuk irányított szakaszként, mert egy vektornak nincsenek pontjai, vagy konkrét helye. Egy vektort végtelen számú irányított szakasz reprezentálhat. Egy irányított szakaszt ponthalmaznak tekintünk, ami kezdő és végponttal rendelkezik.
 
A vektorok bevezetésére elsősorban fizikai problémák megoldása sarkallta a matematikusokat. Például az elmozdulás, erő, forgatónyomaték, vagy a térerősség (mágneses, elektromos, gravitációs stb.) vektorokkal leírható mennyiségek.
 
A vektor '''nagysága''' a vektort reprezentáló irányított szakasz hossza. '''Állása''' a vektort reprezentáló irányított szakasznak egy önkényes választás alapján, előre meghatározott vonatkoztatási egyenessel bezárt szöge. '''Iránya''' megmutatja, hogy a vektort reprezentáló irányított szakasznak melyik a kezdő és végpontja.
 
Vektorok a ''[[vektortér]]nek'' nevezett halmaz elemei. E halmaz megadásához az elemeken kívül egy másik halmazt is meg kell jelölni, amelynek elemeit ''skalároknak'' nevezzük. A vektorokra ugyanis az egymás közötti műveleteken kívül vektor-skalár műveleteket is értelmezünk. Ezért a fenti példákban szereplő vektorok terét szabatosan ''valós számok feletti vektortérnek'' kell nevezni. A skalárokat ezekben az esetekben a valós számok képviselik.
== Részletezés ==
 
A vektorok '''V''' halmazában értelmezett ''egyetlen'' művelet az ''összeadás,'' amelyről megköveteljük, hogy [[asszociatív]] és [[kommutatív]] legyen, továbbá, hogy legyen a halmazban [[neutrális elem]] – '''nullvektor''' – és minden elemnek legyen [[inverz]]e – '''ellentett vektor'''. Az ilyen halmazt '''[[Abel-csoport|kommutatív csoportnak]]''' nevezik. A skalárok '''S''' halmaza ún. '''kommutatív test''', amelynek elemei között a valós számok körében értelmezett műveletek (összeadás és szorzás) értelmezve vannak, s azok ismert tulajdonságaival rendelkeznek: kommutatív, asszociatív mindkettő, disztributív az összeadás a szorzásra nézve, van egység- és null-elem, továbbá additív és multiplikatív inverz (a nulla kivételével). A két halmazt összekapcsolja egy „[[Művelet#Külső művelet|külső művelet]]”, a '''vektornak skalárral való szorzása'''. E művelet eredménye szintén vektor. Megköveteljük, hogy e műveletre a következő szabályok legyenek érvényesek:
 
<!--VALAKI JAVÍTSA a képlet végén mínuszok, nincs az alfa és béta között hely!-->
== A geometriában ==
 
A legismertebb „geometriai” vektor az '''irányított szakaszok ekvivalencia osztálya'''. Két (több) azonos hosszúságú és irányítású szakasz ugyanannak az osztálynak (vektornak) a képviselője. Amikor az általuk képviselt osztályokkal műveletet végzünk (például két vektort összeadunk), a szerkesztéshez bármelyiküket használhatjuk: '''szabad vektorok'''.
 
A koordináta rendszerben értelmezett '''helyvektorok''', azaz az origóból indított és a sík egy-egy pontjában végződő irányított szakaszok olyan halmazt alkotnak, ami rendelkezik a vektortér tulajdonságaival, ezek az ún. '''kötött vektorok'''.
 
Egy eltolást megadhatjuk egy vektorral vagy annak bármelyik képviselőjével (egyik irányított szakasszal). Ezért az eltolások halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: '''vektortér'''.
 
E „geometriai” vektorok közös jellemzője a hosszúság és az irány. Az előbbit szokták a vektor [[abszolút érték]]ének is nevezni. Ezek a fogalmak sok más vektortérben is értelmezhetők. A rendezett szám n-eseknél például a komponensek négyzetösszege a vektor [[normája]], s ennek négyzetgyöke az abszolút értéke. Ugyanebben a vektortérben az irány már nem olyan szemléletes, mint például a síkbeli geometriai vektoroknál.
 
[[Kép:Vector addition3.svg|thumbnail|200px|jobbra|Két vektor összege rajzban a paralelogramma-szabály szerint képezhető]]
A vektortérben két művelet – az összeadás és a skalárral való szorzás – értelmezett. A vektorok kivonása ezek kombinációjával helyettesíthető: '''a-b''' = '''a'''+(-1.'''b''').
A geometriai vektorok speciális vektorok és speciális geometriai objektumok. Értelmezhető két ilyen vektor szorzata, ami nem általános vektorművelet (például két erő szorzata nem értelmes). A sík vagy térvektorok [[skaláris szorzat]]a: '''a.b''' = ''skalár,'' viszont két térvektor [[vektoriális szorzat]]a: '''a×b''' = ''vektor'' és ez a művelet síkban nem is értelmezhető. A térben három vektor [[vegyes szorzat]]a: ('''a'''×'''b'''a×b).'''c''' e két művelet kombinációja, s eredménye ''skalár.'' Mind az alapműveleteket, mind e specifikus operációkat értelmezni lehet a sík- ill. a térbeli analitikus geometriában is. Ebben a modellben a geometriai szerkesztéseket számítási eljárások helyettesítik: [[vektorkalkulus]]. A geometriai problémák megoldásában a [[vektoranalízis]], a [[differenciálgeometria]] szintén sok, elemi úton nehezebben bizonyítható összefüggés, körülményesebben kivitelezhető szerkesztés megoldásában nyújt segítséget.
 
== A fizikában ==
 
A fizikában vektornak nevezzük az olyan mennyiségeket, amelyek a koordináta-rendszer elforgatásakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a koordinátavektor (ld. a '''matematikai vektor''' fogalmát). Ez kiterjesztése a matematikai fogalomnak, mert a fizikában nemcsak számmal, hanem mértékegységgel is jellemezzük a mennyiségeket, ezért mondjuk a hármas helykoordináta-rendszerben szigorúan véve nem tudjuk az impulzust ábrázolni, csak az irányát, a hossza tulajdonképpen önkényes. Az impulzus az impulzustérben ábrázolható. A két koordináta-rendszert el tudjuk viszont szimultán forgatni úgy, hogy a forgatást ugyanazok az [[Euler-szögek]] jellemezzék. Ha a koordináta-rendszer elforgatásakor egy másik fizikai mennyiség ilyen értelemben ugyanúgy transzformálódik, akkor az illető mennyiséget fizikai '''vektormennyiségnek''' nevezzük.
 
Ha a koordináta-rendszer tükrözését – ami mindegyik koordinátatengely irányának a megfordítását jelenti – is megengedjük, akkor két eset lehetséges. Ha a vektor iránya ellentétesre vált, akkor a mennyiség '''valódi vektor''' vagy egyszerűen '''vektor''', ha nem, akkor pedig '''axiálvektor
 
=== Példák ===
 
* '''Vektor''' a [[térbeli koordináta]], [[impulzus]], [[sebesség]], [[elektromos térerősség]] stb.
* '''Axiálvektor''' az [[impulzusmomentum]], [[mágneses indukció]] stb.
 
=== Lásd még ===