„Vektor” változatai közötti eltérés

431 bájt hozzáadva ,  2 évvel ezelőtt
Definíció több szempontból.
Címke: 2017-es forrásszöveg-szerkesztő
(Definíció több szempontból.)
A vektorok legáltalánosabb, és így legmélyebb definícióját az [[analízis]]ben találjuk, ahol a vektorok egy bizonyos típusú halmazhoz rendelhető másik halmaz elemei. Ez felettes értelmezése a fenti két definíciónak, hiszen mindkettőt magába foglalja.
 
== RészletezésDefiníció ==
 
=== Lineáris algebra ===
A vektorok V halmazában értelmezett ''egyetlen'' művelet az ''összeadás,'' amelyről megköveteljük, hogy [[asszociatív]] és [[kommutatív]] legyen, továbbá, hogy legyen a halmazban [[neutrális elem]] – nullvektor – és minden elemnek legyen [[inverz]]e – ellentett vektor. Az ilyen halmazt [[Abel-csoport|kommutatív csoportnak]] nevezik. A skalárok S halmaza ún. kommutatív test, amelynek elemei között a valós számok körében értelmezett műveletek (összeadás és szorzás) értelmezve vannak, s azok ismert tulajdonságaival rendelkeznek: kommutatív, asszociatív mindkettő, disztributív az összeadás a szorzásra nézve, van egység- és null-elem, továbbá additív és multiplikatív inverz (a nulla kivételével). A két halmazt összekapcsolja egy „[[Művelet#Külső művelet|külső művelet]]”, a vektornak skalárral való szorzása. E művelet eredménye szintén vektor. Megköveteljük, hogy e műveletre a következő szabályok legyenek érvényesek:
 
Legyen <math>\mathcal{E}</math> euklideszi geometriai tér. Ekkor a <math>\mathcal{E}\times\mathcal{E}</math> halmaz elemeit, mint rendezett párokat ''irányított szakasznak'' nevezzük. Tekintsük most a térben a párhuzamos eltolásokat. Ezek segítségével <math>\mathcal{E}\times\mathcal{E}</math> felett egy ekvivalenciarelációt határozhatunk meg.
<!--VALAKI JAVÍTSA a képlet végén mínuszok, nincs az alfa és béta között hely!-->
Ha <math>\alpha , \beta </math> , 1 skalárok és u, v vektorok, akkor
# <math>(\alpha +\beta )u=\alpha u+\beta u </math>
# <math>\alpha (u+v)=\alpha u+\alpha v </math>
# <math>\alpha (\beta u)=(\alpha \beta ) u </math>
# <math>1u = u</math>
 
Két pontpárt, <math>(A,B)</math>-t és <math>(C,D)</math>-t ekvivalensnek tekintünk, ha van olyan <math>p</math> párhuzamos eltolás, hogy <math>p(A)=C</math> és <math>p(B)=D</math>.
== A geometriában ==
 
Az ekvivalenciarelációk a halmazt faktorhalmazokra bontják. Az <math>\mathcal{E}\times\mathcal{E}</math> felett az előbbiekben bevezetett ekvivalenciareláció faktorhalmazait ''szabadvektoroknak'', a faktorhalmazok elemeit a szabadvektor ''reprezentánsainak'' nevezzük.
A legismertebb „geometriai” vektor az irányított szakaszok ekvivalencia osztálya. Két (több) azonos hosszúságú és irányítású szakasz ugyanannak az osztálynak (vektornak) a képviselője. Amikor az általuk képviselt osztályokkal műveletet végzünk (például két vektort összeadunk), a szerkesztéshez bármelyiküket használhatjuk: szabad vektorok.
 
=== Geometria ===
A koordináta rendszerben értelmezett helyvektorok, azaz az origóból indított és a sík egy-egy pontjában végződő irányított szakaszok olyan halmazt alkotnak, ami rendelkezik a vektortér tulajdonságaival, ezek az ún. kötött vektorok.
 
A geometriában a vektorok az eltolások, mint transzformációk meghatározásában játszanak szerepet. Legyen ugyanis <math>\alpha</math> és <math>\beta</math> két párhuzamos sík. Ha a távolságuk <math>d\neq0</math>, akkor a tér bármely <math>X</math> pontjához olyan módon rendel hozzá egy <math>X'</math> pontot, hogy <math>|XX'|=2d</math>. Ezen túl az <math>X</math> és <math>Y</math> pontok képe olyan, hogy <math>XX'||YY'</math> és egyező irányításúak. Ezt a leképezést ''eltolásnak'' nevezzük.
Egy eltolást megadhatjuk egy vektorral vagy annak bármelyik képviselőjével (egyik irányított szakasszal). Ezért az eltolások halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér.
 
Világos, hogy az eltoláshoz elegendő az <math>(X,X')</math> pontpárt megadni, mivel ez bármely pontnak a képét megadja a fentebbiek szerint.<ref>Konkrétan megadható a pár alapján bármely pont képének a ''szerkesztése''.</ref> Az <math>(X,X')</math> párt ekkor ''vektornak'' nevezzük.
E „geometriai” vektorok közös jellemzője a hosszúság és az irány. Az előbbit szokták a vektor [[abszolút érték]]ének is nevezni. Ezek a fogalmak sok más vektortérben is értelmezhetők. A rendezett szám n-eseknél például a komponensek négyzetösszege a vektor [[normája]], s ennek négyzetgyöke az abszolút értéke. Ugyanebben a vektortérben az irány már nem olyan szemléletes, mint például a síkbeli geometriai vektoroknál.
 
A fentebbiek során a lineáris algebrai definíció szerinti osztályozást is megvalósítottuk, tehát itt is lehet beszélni az adott irányítású és hosszúságú vektorok ekvivalenciaosztályáról, amit ez alapján ''szabadvektornak'' nevezünk. Ha rögzítünk egy <math>O</math> pontot, akkor a szabadvektorok azon reprezentánsait, amik kezdőpontja <math>O</math>, ''kötött vektoroknak'' nevezzük. Ezek például egy koordinátarendszer pontjait határozhatják meg.
A <math>\mathbf{v}</math> vektorral való eltolást <math>\tau_{\mathbf{v}}</math>-vel jelöljük.
 
=== Analízis ===
 
Legyen <math>T</math> test,<ref>Fontos feltétel, hogy test legyen, ellenkező esetben a feltételeink "elromlanak".</ref> <math>H</math> pedig halmaz. Ha értelmezünk két függvényt:
:<math>+:H\times H\rightarrow H</math>
:<math>.:T\times H\rightarrow H</math>
úgy, hogy a + asszociatív, kommutatív, invertálható és van neutrális eleme, valamint <math>\forall\alpha,\beta\in T</math> és <math>\forall x,y\in H</math> esetén
#* <math>\alpha .(\beta u.x)=(\alpha \cdot\beta ) u .x</math>
#* <math>(\alpha +\beta )u.x=\alpha u.x+\beta u .x</math>
#* <math>\alpha .(ux+vy)=\alpha u.x+\alpha v .y</math>
#* <math>1u 1.x= ux</math>
teljesül, akkor <math>H</math>-t a ''<math>T</math> test feletti vektortérnek'' nevezzük, <math>H</math> elemeit pedig ''vektoroknak''.
 
Mint látható, az analitikus definíció olyan mértékben absztrakt, hogy egészen furcsa halmazokat is tudunk vektortérként kezelni. Ilyen lehet például a <math>T</math>-ben haladó konvergens sorozatok halmaza, vagy a <math>H\rightarrow T</math> függvények halmaza.
 
== Vektorműveletek ==