„Vektor” változatai közötti eltérés

1 250 bájt hozzáadva ,  2 évvel ezelőtt
→‎Skaláris szorzat: A skaláris szorzat kiszámítása
(→‎Vektorműveletek: összeg és skaláris szorzat első fele.)
(→‎Skaláris szorzat: A skaláris szorzat kiszámítása)
:<math>\vec{a}\vec{b}=a\cdot b\cdot\cos \phi</math>
képlet szolgál, ahol <math>a</math> az <math>\vec{a}</math> vektor hossza.
 
Könnyen belátható, hogy a skaláris szorzat kommutatív és a vektorok összeadására nézve disztributív, de nem asszociatív művelet.
 
A skaláris szorzat adott bázis esetén könnyebben is kiszámítható. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a bázis vektorai egymásra merőlegesek, ez mindig elérhető a [[Gram–Schmidt-eljárás]] segítségével például. Ekkor az <math>\vec{a}</math> és <math>\vec{b}</math> vektorok a bázis lineáris kombinációjaként felírva:
:<math>\vec{a}=\sum a_i\vec{e}_i</math>
:<math>\vec{b}=\sum b_i\vec{e}_i</math>
lesznek. A szorzáskor figyelembe véve a skaláris szorzat disztributivitását és az egységvektorok merőlegességét kapjuk:
:<math>\vec{a}\vec{b}=\sum a_ib_</math>.
 
Például számoljuk ki a <math>\vec{a}=(2,1,3)</math> és <math>\vec{b}=(4,-2,-3)</math> vektorok skaláris szorzatát:
:<math>\vec{a}\vec{b}=2\cdot4+1\cdot(-2)+3\cdot(-3)=8-2-9=-3</math>.
 
Nem merőleges bázisvektorok esetén a skaláris szorzat vegyes tagokat is fog tartalmazni, valamint egy, a bázist jellemző operátort.
 
Ha egy vektort önmagával szorzunk, akkor a definíció értelmében a hosszának a négyzetét kapjuk. Ezt a [[koszinusztétel]] bizonyítása során is kihasználjuk.
 
==== Vektoriális szorzat ====