„Vektor” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
A vektoriális szorzat |
|||
110. sor:
==== Vektoriális szorzat ====
A vektoriális szorzat egy kizárólag három dimenzióban értelmezhető belső szorzat. Eredete a skaláris szorzathoz hasonlóan fizikai: elsősorban a forgatónyomaték kezelésében bukkan fel, de később több más területen is kényelmesnek bizonyult a használata. A definíciója is ennek megfelelően elsősorban technikai jellegű. Legyen <math>\vec{a}</math> és <math>\vec{b}</math> két vektor. Ekkor hozzájuk rendelhető egy harmadik <math>\vec{c}</math> vektor a következő szabályok szerint:
# <math>\vec{c}=0</math>, ha <math>\vec{a}||\vec{b}</math>;
# <math>\vec{c}</math> maximális, ha a vektorok merőlegesek egymásra;
# a szorzat egyenesen arányos a <math>\vec{a}</math> és <math>\vec{b}</math> hosszával.
# a három vektor úgy helyezkedik el egymáshoz képest, mint a koordinátarendszer x, y és z tengelyei.
Az első két feltételt a vektorok által bezárt szög szinusza is kielégíti, így a harmadik feltétellel együtt a skaláris szorzathoz hasonlóan a
:<math>\vec{a}\times\vec{b}=a\cdot b\cdot\sin\phi</math>
képletet írhatjuk fel. Ebben nincsen benne a szorzatvektor iránya, úgyhogy azt továbbra is külön fel kell írnunk.
A vektoriális szorzat nem asszociatív, de ez nem meglepő. Még kevésbé meglepő, hogy nem kommutatív, viszont ''antikommutatív'', azaz <math>\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}</math>. A vektorok összeadására nézve disztributív.
A tér merőleges bázisvektorai esetén érvényes összefüggések:
# <math>\vec{e}_1\times\vec{e}_2=\vec{e}_3</math>
# <math>\vec{e}_2\times\vec{e}_3=\vec{e}_1</math>
# <math>\vec{e}_3\times\vec{e}_1=\vec{e}_2</math>,
ezeket a koordinátás alak kiszámításakor használjuk ki.
A fenti tulajdonságok alapján levezethető a vektorok szorzatára vonatkozó számítási módszer:
Ha <math>\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}</math>, akkor
:<math>\vec{c}_1=\vec{a}_2\vec{b}_3-\vec{a}_3\vec{b}_2</math>
:<math>\vec{c}_2=\vec{a}_3\vec{b}_1-\vec{a}_1\vec{b}_3</math>
:<math>\vec{c}_3=\vec{a}_1\vec{b}_2-\vec{a}_2\vec{b}_1</math>.
Például az <math>\vec{a}=(2,5,-2)</math> és <math>\vec{b}=(3,-4,-1)</math> vektorok vektoriális szorzata:
:<math>\vec{c}_1=5\cdot(-1)-(-2)\cdot(-4)=-5-8=-13</math>
:<math>\vec{c}_2=(-2)\cdot3-2\cdot(-1)=-6+2=-4</math>
:<math>\vec{c}_3=2\cdot(-4)-5\cdot3=-8-15=-23</math>.
Skaláris szorzással ellenőrizhet, hogy e vektor mindkettő tényezőre merőleges.
==== Tenzori (diadikus) szorzat ====
| |||