„Skaláris szorzat” változatai közötti eltérés

Bilinearitás
Címke: 2017-es forrásszöveg-szerkesztő
(Bilinearitás)
Címke: 2017-es forrásszöveg-szerkesztő
 
Egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszúságának a négyzete: <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{a}| \cos 0^\circ = |\mathbf{a}|^2. \;</math> Ebből következően <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0</math> , és <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}= 0</math> akkor és csak akkor, ha <math>\mathbf{a}= \mathbf{0}.</math> Az ilyen leképezéseket ''pozitív definit''nek nevezzük.
 
==Bilinearitás==
<!--
A skalárszorzat ''bilineáris'', azaz mindkét változójában lineáris. Ez azt jelenti, hogy ha az hogy tetszőleges <math>\lambda</math> skalárra és <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}</math> vektorokra <math>(\lambda\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})</math> (hiszen <math>(\lambda\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = |\lambda \mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta = \lambda |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})</math>), és <math>(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) </math> (hiszen <math>(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})</math>)
 
=(B1) <math>(\lambda(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}) += \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{cb}) \;</math> és
 
(B2) <math>(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) +(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})</math>.
 
A szimmetriatulajdoság miatt ezekből már következik, hogy
 
(B3) <math>\,\mathbf{a} \cdot (\lambda\mathbf{b} += \lambda(\mathbf{ca} \cdot \mathbf{b})</math> és
 
(B4) <math>\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})</math>.
 
(B1) közvetlenül következik a definícióból, hiszen <math>(\lambda\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = |\lambda \mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta = \lambda |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})</math>)
 
 
\mathbf{a} \cdot (\lambda\mathbf{b} + \mathbf{c})
= \lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;</math>
-->
 
== Általánosítás ==