|
* Egy lehetséges pontos definíció a következő: adott egy U [[halmaz]] és egy <math>*\colon U \times U \to U</math> kétváltozós (bináris) [[művelet]]. Ekkor az <math>n \in U</math> elem '''neutrális elem''' a <math>*</math> bináris műveletre nézve, ha tetszőleges <math>x \in U</math> elemre érvényes: <math>x * n = n * x = x</math>''.''
* Egy másik definíció a [[grupoid]]-[[transzláció (algebra)|transzláció]] fogalmára alapoz: eszerint az <math>n \in U</math> elem akkor neutrális eleme az <math>(U, *)</math> grupoidnak, ha az ''n'' elemhez tartozó <math>Tj_n</math> és <math>Tb_n</math> jobb oldali és bal oldali transzlációk egyaránt az <math>U</math> feletti identikus leképezéssel ([[helybenhagyás (matematika)|helybenhagyással]]) egyenlőek, azaz ha tetszőleges <math>x \in U</math> elemre a <math>Tj_n(x) = x</math> és <math>Tb_n(x) = x</math>''.'' Minthogy definíció szerint <math>Tj_n(x) = x * n</math> és <math>Tb_n(x) = n * x</math>'','' ez tényleg az előző definícióval ekvivalens.
* Egy másik definíció a [[grupoid]]-[[transzláció (algebra)|transzláció]] fogalmára alapoz: eszerint az <math>n \in U</math> elem akkor neutrális eleme az <math>(U, *)</math> grupoidnak, ha az ''n'' elemhez tartozó <math>Tj_n</math> és <math>Tb_n</math> jobb oldali és bal oldali transzlációk egyaránt az <math>U</math> feletti identikus leképezéssel ([[helybenhagyás (matematika)|helybenhagyással]]) egyenlőek, azaz ha tetszőleges <math>x \in U</math> elemre a <math>Tj_n(x) = x</math> és <math>Tb_n(x) = x</math>''.'' Minthogy definíció szerint <math>Tj_n(x) = x * n</math> és <math display="block">\dot{\ddot{\acute{\grave{\check{\breve{\tilde{\bar{\hat{\widehat{\vec{\exp\exp_\ln\lg\log\log_{\sin\sin\cos\tan\cot\sec\csc\arcsin\arccos\arctan\arccot\arcsec\arccsc\sinh\cosh\tanh\coth\operatorname{ch}\operatorname{sh}\operatorname{ch}\operatorname{th}\operatorname{coth}\operatorname{argsh}\operatorname{argch}\operatorname{argth}\sgn\left\vert \min(\max(\min\max\inf\sup\lim\liminf\limsup\dim\deg\det\ker\Pr\hom\lVert \argdt\operatorname{d}\!t\partial t\nabla\psidy/dx\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!x{dy \over dx}{\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!x}{\partial^2\over\partial x_1\partial x_2}y\prime\backprimef'f''f^{(\dot y\ddot y\infty\aleph\complement\backepsilon\eth\Finv\eth\Finv\hbar\Im\imath\jmath\Bbbk\Bbbk\ell\mho\wp\Re\circledS\pmod{\gcd(\operatorname{lcm}(\mid\nmid\shortmid\nshortmid\surd\sqrt{\sqrt[+-\pm\mp\dotplus\times\times\div\divideontimes/\backslash*\circ\star\circ\bullet\boxplus\boxminus\boxtimes\boxdot\oplus\ominus\boxtimes\boxdot\oplus\ominus\otimes\oslash\odot\circleddash\circledcirc\circledast\bigoplus\bigotimes\bigodot\{\}\varnothing\emptyset\varnothing\in\not\in\ni\not\ni\cap\Cap\sqcap\bigcap\cup\sqcup\Cup\sqcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigsqcup\uplus\biguplus\setminus\smallsetminus\times\subset\Subset\sqsubset\supset\Supset\sqsupset\subseteq\nsubseteq\subsetneq\varsubsetneq\sqsubseteq\supseteq\nsupseteq\supsetneq\varsupsetneq\sqsupseteq\subsetneqq\varsubsetneqq\supseteqq\nsupseteqq\supsetneqq\varsupsetneqq=\neq\equiv\not\equiv\doteq\doteqdot\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}:=\nsim\sim\backsim\nsim\backsim\thicksim\simeq\backsimeq\eqsim\pmod{\gcd(\operatorname{lcm}(\mid\shortmid\nshortmid\surd\sqrt{\sqrt[=\neq\equiv\not\equiv\doteq\doteqdot\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}:=\sim\nsim\backsim\thicksim\simeq\backsimeq\eqsim>\ngtr\cong\ncong\approx\thickapprox\approxeq\asymp\propto\varpropto<\nless\ll\not\ll\lll\lll\not\ll\lll\not\lll\lessdot>\ngtr\not\gg\ggg\not\ggg\gtrdot\leq\lneq\leqq\nleq\nleqq\lneqq\lvertneqq\geq>\ngtr\gg\not\gg\ggg\not\ggg\gtrdot\gtrdot\leq\lneq\leqq\nleq\nleqq\lneqq\lvertneqq\geq\geqslant\ngeqslant\eqslantgtr\lesssim\lnsim\gneq\geqq\ngeq\ngeqq\gneqq\gvertneqq\lessgtr\lesseqgtr\lesseqqgtr\gtrless\gtreqless\gtreqqless\leqslant\nleqslant\nleqslant\eqslantless\geqslant\ngeqslant\lesssim\lnsim\lessapprox\lnapprox\gtrsim\gnsim\gtrapprox\gnapprox\prec\nprec\preceq\precneqq\succ\nsucc\nsucceq\succeq\succneqq\nsucceq\succneqq\succneqq\preccurlyeq\curlyeqprec\succcurlyeq\curlyeqsucc\precsim\precsim\precnsim\precapprox\precnapprox\succsim\succnsim\succapprox\succnapprox\parallel\nparallel\shortparallel\nshortparallel\perp\angle\sphericalangle45^\circ\Box\blacksquare\diamond\lozenge\blacklozenge\bigstar\bigcirc\bigtriangleup\vartriangle\triangledown\blacktriangle\blacktriangledown\blacktriangleleft\blacktriangleright\Rrightarrow\Lleftarrow\Rightarrow\nRightarrow\Longrightarrow\Leftarrow\nLeftarrow\Longleftarrow\Leftrightarrow\nLeftrightarrow\Longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\rightarrow\nrightarrow\nrightarrow\longrightarrow\leftarrow\nRightarrow\Longrightarrow\Leftarrow\nLeftarrow\Longleftarrow\Leftrightarrow\nLeftrightarrow\Longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\rightarrow\longrightarrow\nrightarrow\longrightarrow\leftarrow\nleftarrow\longleftarrow\leftrightarrow\nleftrightarrow\longleftrightarrow\uparrow\uparrow\downarrow\updownarrow\nearrow\swarrow\nwarrow\searrow\upuparrows\mapsto\nrightarrow\longrightarrow\leftarrow\nleftarrow\longleftarrow\leftrightarrow\nleftrightarrow\longleftrightarrow\uparrow\downarrow\updownarrow\nearrow\swarrow\nwarrow\searrow\mapsto\longmapsto\rightharpoonup\rightharpoonup\rightharpoondown\rightharpoondown\rightharpoondown\leftharpoonup\leftharpoondown\upharpoonleft\upharpoonright\upharpoonright\upharpoonright\downharpoonleft\downharpoonright\rightleftharpoons\leftrightharpoons\curvearrowleft\nearrow\swarrow\nwarrow\searrow\mapsto\longmapsto\rightharpoondown\rightharpoonup\rightharpoondown\leftharpoonup\upharpoonleft\upharpoonleft\upharpoonright\downharpoonleft\downharpoonright\rightleftharpoons\leftrightharpoons\leftrightharpoons\curvearrowleft\circlearrowleft\Lsh\upuparrows\rightrightarrows\rightleftarrows\rightarrowtail\looparrowright\curvearrowright\circlearrowright\Rsh\downdownarrows\leftleftarrows\leftrightarrows\leftarrowtail\looparrowleft\hookrightarrow\hookleftarrow\multimap\leftrightsquigarrow\rightsquigarrow\twoheadrightarrow\twoheadleftarrow\xrightarrow[\xleftarrow[\amalg\P\S\%\dagger\ddagger\ldots\cdots\smile\frown\wr\triangleleft\triangleright\diamondsuit\heartsuit\clubsuit\spadesuit\spadesuit\%\dagger\ddagger\ldots\smile\smile\frown\wr\triangleleft\triangleright\diamondsuit\heartsuit\clubsuit\spadesuit\Game\flat\natural\sharp\diagup\diagdown\diagdown\ltimes\rtimes\leftthreetimes\leftthreetimes\rightthreetimes\eqcirc\alpha\beta\gamma\delta\epsilon\zeta\eta\theta\iota\kappa\lambda\mu]{a}]{a}]{2}}, n), n)\bmod b}]{2}}, n), n)\bmod b})} \rVert,y),y) \right\vert}}}}}}}}}}}}
</math>'','' ez tényleg az előző definícióval ekvivalens.
* Elnevezések és írásmódok:
** Ha a <math>*</math> műveletet összeadásnak nevezzük és +-nak írjuk (ezt gyakorta, bár nem kizárólag akkor tesszük, ha kommutatív); akkor a neutrális elemet szokás '''nullelem'''nek nevezni és 0-val jelölni.
== Egyértelműség ==
A neutrális elem egyértelmű (legfeljebb egy van belőle az alaphalmazban). Ugyanis ha <math>n, m \in U</math>neutrális elemek, akkor<math>\mathbf{n} * m = m * \mathbf{n} = m</math>, mivel <math>n</math> neutrális; és <math>n * \mathbf{m} = \mathbf{m} * n = n</math>, mivel <math>m</math> is neutrális, így <math>000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000m = n \ (\!= n * m)</math>.
</math>.
== Féloldali neutrális elemek ==
Ha egy elem balneutrális, de nem neutrális, akkor valódi balneutrálisnak nevezzük, hasonlóan ha jobbneutrális, de nem neutrális, akkor valódi jobbneutrálisnak.
Megjegyezzük, hogy ha egy műveletre nézve van jobb oldali <math>j</math> és van bal oldali <math>b</math> neutrális elem, akkor ezek szükségképp egyenlőek, és így van neutrális elem, hiszen <math>x * j = x</math> miatt <math>b * j = b</math>'','' ugyanakkor <math>b * x = x</math> miatt <math>b * j = j</math>''.'' Azaz <math>0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000b * j = b = j</math>''.''
Ebből következően
* egy műveletre nézve akkor és csak akkor létezik neutrális elem, ha létezik egy bal oldali és egy jobb oldali neutrális elem.
* Bármely műveletre bármely <math>000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000x \in U</math> esetén a következő lehetőségek közül egy és csak egy teljesül:
**<math>x</math> valódi balneutrális elem (s ekkor nincs jobbneutrális elem. tehát neutrális sincs);
**<math>x</math> valódi jobbneutrális elem (s ekkor nincs balneutrális elem, tehát neutrális sincs);
{| align=center
|
{| class="wikitable sortable mw-collapsible mw-collapsed" border="1"
|+0000000000000000000000000000000000000000000<br />
||<math>*_b</math>!! a<sub>1</sub>!! a<sub>2</sub>!! a<sub>3</sub>
|-
|| a<sub>1</sub>
| a<sub>1</sub> || a<sub>2</sub> || a<sub>3</sub>
|-
|| a<sub>2</sub>
| a<sub>1</sub> || a<sub>2</sub> || a<sub>3</sub>
|-
|| a<sub>3</sub>
| a<sub>1</sub> || a<sub>2</sub> || a<sub>3</sub>
|}
|
| 