|
<br />
{{Sokszög infobox
| név = Ötszög
| oldalak száma = 5
| kép (szabályos) = Pentagon.svg
| Schlafli-szimbólum = {5}
| Coxeter-Dynkin diagram =
| szimmetriacsoport = D<sub>5</sub> [[diédercsoport]]
| terület (szabályos) = 1,720477
}}
{{Commonskat|Pentagons|Ötszögek}}
A geometriában '''ötszögnek''' nevezik az [[öt]]oldalú [[sokszög]]eket.
A '''szabályos ötszög''' egy olyan ötszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú és minden [[szög]]e [[egyenlő]] nagyságú (108°).
A belső [[szög]]ek összege minden ötszögben 540°, akkor is ha az egyes szögek nem 108°-osak. [[Schläfli-szimbólum]]a {5}.
Az ''a'' oldalhosszúságú szabályos ötszög területe az alábbi képlettel számolható:
<math>T = \frac{5a^2\cdot\text {tg}(54^\circ)}{4}\ = \tfrac14 a^2\sqrt{25+10\sqrt5} \approx 1,720477401 a^2.</math>
Köré írható kör sugara:
<math>r=\frac{a}{2\cos 54^\circ}</math>
Az ötágú csillag ('''[[pentagramma]]''') a szabályos ötszög átlóiból szerkeszthető. Schläfli-szimbóluma {5/2}. Az ötágú csillag belső csúcspontjait összekötve egy kisebb szabályos ötszöget kapunk. A kis és nagy ötszög oldalainak aránya az aranymetszésnek felelnek meg.
== Szerkesztés ==
A szabályos ötszög megszerkeszthető egyetlen [[vonalzó]] és [[körző]] segítségével akár a köré írható kör sugara, akár egy oldala ismeretében. Ezt a szerkesztést [[Eukleidész (matematikus)|Euklidész]] [[i. e. 300]] körül leírta [[Elemek]] című könyvében.
{|
|
|[[Fájl:pentagon-construction.svg|thumb|Ötszög szerkesztése]]
Az ötszög szerkesztésének egyik módszere a következő:
# Rajzoljuk meg az ötszög köré írható kört, középpontja legyen ''O''. (Az ábrán ez a zöld színnel jelölt kör.)
# Jelöljünk meg egy ''A'' pontot a kör kerületén, ez lesz az ötszög egyik csúcsa. Húzzunk egy egyenest ''O'' és ''A'' ponton keresztül.
# Szerkesszünk egy, az O ponton átmenő és az ''OA'' szakaszra merőleges egyenest. Ennek az egyenesnek a körrel való egyik metszéspontja legyen ''B''.
# Szerkesszük meg az ''OB'' szakasz ''C'' felezőpontját.
# Rajzoljunk kört ''C'' középponttal az ''A'' ponton keresztül. (Piros kör) Az ''OB'' egyenessel való metszéspontja (az első körön belül) legyen ''D''.
# Az ötszög oldalának hossza az AD szakasz hosszával egyenlő. Körzőnyílásba véve az AD távolságot és az első körre A pontból rendre felmérve az AD hosszakat, megkapjuk a szabályos ötszög többi csúcsát: az ''E'', ''F'', ''G'' és ''H'' pontokat. Így az A-val együtt öt pontot kaptunk az eredeti körön. A szomszédosokat egyenes szakasszal összekötve a szerkesztést befejeztük.
|}
| 