„Szórás (valószínűségszámítás)” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
{{egyért3|Szórás (egyértelműsítő lap)|A|szórás}}
A '''szórás''' a [[valószínűségszámítás]]ban az [[valószínűség-eloszlás|eloszlásokat]] jellemző
Az
<center>
<math>
\mathbb{D}(X) = \sqrt{\mathbb{E} \left((X -\mathbb{E}(X))^2\right)} =
▲\sqrt{\mathbf E(X^2)-\mathbf E^2(X)}
</math>
</center>
képlet adja meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol
\mathbb{E </math> Az X </math> valószínűségi változó szórásának '''jelölésére''' a szakirodalomban a következő konvenciók léteznek: <center>
26 ⟶ 25 sor:
\mathbf D X,
\,
\,
\mathbb D X.
32 ⟶ 31 sor:
</center>
A szórás négyzetét olyan gyakran használják a [[valószínűségszámítás]]ban és a [[matematikai statisztika|matematikai statisztikában]], hogy önálló fogalomként, mint szórásnégyzet vagy [[variancia]] is szoktak rá utalni.
Az X </math> valószínűségi változó szórásnégyzete X </math> második [[centrális momentum]]a. == A szórás néhány fontosabb tulajdonsága ==
* Az <math>
* Az ''X'' valószínűségi változónak pontosan akkor létezik szórása, ha ''X''<sup>2</sup>-nek létezik várható értéke, s ebben az esetben▼
X
▲
X^2
</math>-nek létezik várható értéke, s ebben az esetben
:<math>
\begin{align}
\mathbb{D}(X) & = \sqrt{\mathbb{D}^2(X)} = \sqrt{\mathbb{V}(X)} = \\
& = \sqrt{\mathbb{E}\left((X - \mathbb{E}(X))^2\right)} =
\sqrt{\mathbb{E}(X^2 - 2X\mathbb{E}(X) +\mathbb{E}^2(X)} = \\
& = \sqrt{\mathbb{E}(X^2) - 2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(X) +\mathbb{E}^2(X)} =
\sqrt{\mathbb{E}(X^2) - 2\mathbb{E}^2(X) +\mathbb{E}^2(X)} = \\
& = \sqrt{\mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}^2(X)}
\end{align}
</math>
* Tetszőleges
a, b \in \mathbb{R}
</math> esetén
:<math>
\begin{align}
\mathbb{D} (aX) &=
\
\sqrt{\mathbb{E}\left((aX)^2\right) - \mathbb{E}^2(aX)} =
\sqrt{\mathbb{E}(a^2X^2) - \left(\mathbb{E}(aX)\right)^2} = \\
&= \sqrt{a^2\mathbb{E}(X^2) - \left(a\mathbb{E}(X)\right)^2} =
\sqrt{a^2\mathbb{E}(X^2) - a^2\mathbb{E}^2(X)} = \\
&=\sqrt{a^2\left(\mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}^2(X)\right)} =
\sqrt{a^2\mathbb{V}(X)} = \\
&= \vert a \vert \mathbb{D}(X),
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
\mathbb{D}(X + b) &=
\sqrt{\mathbb{V}(X + b)} =
\sqrt{\mathbb{E}\left((X + b)^2\right) - \left(\mathbb{E}(X + b)\right)^2} = \\
& = \sqrt{\mathbb{E}(X^2 + 2bX + b^2) - \left(\mathbb{E}(X) + b\right)^2} =
\sqrt{\left(\mathbb{E}(X^2) + 2b\mathbb{E}(X) + b^2\right) - \left(\mathbb{E}^2(X) + 2b\mathbb{E}(X) + b^2\right)} = \\
& = \sqrt{\mathbb{E}(X^2) + 2b\mathbb{E}(X) + b^2 - \mathbb{E}^2(X) - 2b\mathbb{E}(X) - b^2} = \\
& = \sqrt{\mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}^2(X)} = \\
& = \mathbb{D}(X).
\end{align}
</math>
* Az <math>
X
</math> valószínűségi változó szórása pontosan akkor 0, ha <math>
X
</math> konstans, azaz
<math>
\mathbb{D}(X) = 0 \Leftrightarrow X = c
</math>.
* Ha <math>
X
</math> és <math>
Y
</math> véges szórású korrelálatlan valószínűségi változók, azaz <math>
\operatorname{corr}(X, Y) = 0
</math>, akkor
:<math>
\
\sqrt{\mathbb{D}^2(X) + \mathbb{D}^2(Y)}.
</math>
:
== Források ==
| |||