„Izomorfia” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
KMBot (vitalap | szerkesztései)
a Forrás → Források (WP:BÜ) AWB
Bővítés
1. sor:
Az '''izomorfia''' két [[matematikai struktúra|matematikai struktúrának]] az a tulajdonsága (kölcsönös viszonya<ref>Ha a matematikai struktúrákat egy előre rögzített alaphalmazból vesszük, ez a viszony matematikai szempontból [[reláció]]nak tekinthető.</ref>), hogy elemeik a strukturális tulajdonságokat megőrizve egymásra kölcsönösen egyértelműen ([[bijekció|bijektíven]]) leképezhetők. A struktúramegőrző és kölcsönösen egyértelmű (bijektív) leképezést, amely az izomorfia létét bizonyítja, nevezzük '''izomorfizmus'''nak.
 
Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a két struktúra „tulajdonképpen” ugyanaz, csak az elemeik másképp vannak elnevezve, jelölve.
 
AAz izomorfia a modern [[algebra]] alapvető fogalma. Két [[halmaz]], amelyeken ugyanolyan algebrai struktúra (pl.például [[csoport (matematika)|csoport]], [[Gyűrű (matematika)|gyűrű]] stb.) van értelmezve, ''izomorf'', ha megadható a két halmaznak olyan egymásra való, [[bijekció|kölcsönösen egyértelmű leképezése]], amely a struktúra műveleteivel[[művelet]]eivel összhangban van.
 
== Etimológia ==
Példák:
Az „izomorf” szó az [[ógörög nyelv|ógörög]] ἴσος [iszosz], am. „egyenlő”, és a μορφή [morfé], am. „forma” vagy „alak” [[szóösszetétel|szavak összetétele]].
* ha adott az <math>\bigl(\mathbb{N},+\bigr)</math> struktúra, vagyis a [[természetes számok]] halmaza az összeadással, továbbá a <math>\big(2\mathbb{N},+\big)</math> struktúra, vagyis a páros természetes számok halmaza az összeadással, akkor az <math>f:\mathbb{N} \rightarrow 2\mathbb{N}, f(x) := 2x</math> algebrai leképezés egy izomorfizmus, és így a két struktúra algebrailag izomorf. A leképezés ugyanis 1). kölcsönösen egyértelmű, hiszen minden természetes számnak van kétszerese, mégpedig pontosan egy; továbbá 2). művelettartó, vagyis struktúramegőrző, mert <math>f(n+m)=2(n+m)=2n + 2m = f(n) + f(m).</math> Tehát a függvény „megőrzi” a műveletet: ha az egyik struktúrában két elem összege valami, akkor ennek képe a másik struktúrában a két elem képének összege.
 
* két csoport <math>G</math> és <math>G'</math> izomorf, ha megadható <math>G
== Példák: ==
</math>-nek olyan <math>G'
* haHa adott az <math>\bigl(\mathbb{N},+\bigr)</math> struktúra, vagyis a [[természetes számok]] halmaza az összeadással, továbbá a <math>\big(2\mathbb{N},+\big)</math> struktúra, vagyis a páros természetes számok halmaza az összeadással, akkor az <math>f:\mathbb{N} \rightarrow 2\mathbb{N}, f(x) := 2x</math> algebrai leképezés egy izomorfizmus, és így a két struktúra algebrailag izomorf. A leképezés ugyanis 1). kölcsönösen egyértelmű, hiszen minden természetes számnak van kétszerese, mégpedig pontosan egy; továbbá 2). művelettartó, vagyis struktúramegőrző, mert <math>f(n+m)=2(n+m)=2n + 2m = f(n) + f(m).</math> Tehát aaz ''f'' függvény „megőrzi” a műveletet: ha az egyik struktúrában két elem összege valami, akkor ennek képe a másik struktúrában a két elem képének összege.
</math>-re való kölcsönösen egyértelmű leképezése, hogyha G a, b és c elemeinek G'-ben megfelelő elemeket a', b' és c' jelölik és ab = c, akkor a'b' = c'. Más szóval G két eleme szorzatának „képe” <math>G'
* Két [[csoport (matematika)|csoport]], <math>G</math> és <math>G'</math> izomorf, ha megadható <math>G</math>-nek olyan <math>G'</math>-re való kölcsönösen egyértelmű leképezése, hogyha <math>G</math> a, b és c elemeinek <math>G'</math>-ben megfelelő elemeket a', b' és c' jelölik és ab = c, akkor a'b' = c'. Más szóval <math>G</math> két eleme szorzatának „képe” <math>G'</math>-ben a két elem <math>G'</math>-beli „képének” szorzatával egyenlő. Ha a képhalmaz azonos az eredeti halmazzal, az izomorfizmust [[automorfizmus (csoportelmélet)|automorfizmus]]nak nevezzük.
</math>-ben a két elem <math>G'
</math>-beli „képének” szorzatával egyenlő. Ha a képhalmaz azonos az eredeti halmazzal, az izomorfizmust ''[[automorfizmus (csoportelmélet)|automorfizmus]]''nak nevezzük.
 
== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
<references />
 
== Források ==
* {{Pelikán}}
 
== További információk ==
* [https://youproof.hu/kriptografia/13-adossag-ekvivalenciarelacio-ekvivalencia-osztaly-egesz-szam-homomorfizmus-beagyazas-negativ-szam Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik]
* [https://youproof.hu/kriptografia/18-modularis-aritmetika-homomorfizmus-kongruencia-reszgyuru-ideal-maradekosztalygyuru Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest]
 
== Források ==
{{Pelikán}}
 
== Kapcsolódó oldalak ==
* [[Gráfizomorfizmus]]
 
{{csonk-dátum|csonk-matematika|2010 januárjából}}
{{Portál|Matematika}}
 
{{csonk-matematika}}
 
[[Kategória:Absztrakt algebra]]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Izomorfia