„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés

Nincs méretváltozás ,  10 hónappal ezelőtt
a
áthelyezés
(→‎Tételek a hatványhalmazról: Hasonló konstrukciók)
a (áthelyezés)
* <math>\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \bigl\{ \emptyset, \{\emptyset\}\bigr\}</math>
* <math>\mathcal P(\mathcal P(\{a\})) = \bigl\{ \emptyset, \{\emptyset\} , \{\{a\}\} , \{\emptyset , \{a\}\} \bigr\}</math>
==Tételek a hatványhalmazról==
* '''Tétel''' – Ha ''H'' [[véges halmaz]] és elemszáma az ''n'' természetes szám, akkor ''H'' hatványhalmazának [[számosság]]a <math>| \mathcal{P}(H) | = 2^n</math>.
 
:''Megjegyzés:'' Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló jelölést.
 
* '''Tétel''' – ''([[Cantor-tétel]])'' – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál.
 
Jelben: <math>| \mathcal{P}(H) | > |H|</math>.
 
* '''Tétel''' – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a [[valós számok]] halmazának számosságával, azaz [[kontinuum-számosság]]ú. Tömören: <math>|\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |\mathbb{R}|</math>.
 
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.
 
* '''Állítás''' – Ha ''H'' halmaz, akkor a
* <math>(\mathcal{P}(H),\cup)</math> és <math>(\mathcal{P}(H),\cap)</math> (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes [[félcsoport]]ok
* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\cup</math>-val és <math>\cap</math>-val mint műveletekkel ellátva [[Boole-algebra|Boole-algebrát]] alkot
* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\subseteq</math> relációval ellátva [[Boole-háló]]t alkot.
 
Továbbá a [[mértékelmélet (matematika)|mértékelmélet]] számára fontos tény, hogy a <math>\mathcal{P}(H)</math> hatványhalmaz [[halmazgyűrű]], sőt <math>\sigma</math>-algebra ([[szigma-algebra]]).
==Struktúrája==
A <math>\subseteq</math> tartalmazás reláció részben rendezés a hatványhalmazon, de nem teljes rendezés, ha a teljes halmaz legalább kételemű. A legkisebb elem az <math>\emptyset</math>, a legnagyobb a teljes halmaz.
ahol <math>y\subseteq x</math> jelöli az <math>(\forall u)((u\in y)\Rightarrow (u\in x))</math> formulát.
 
==Tételek a hatványhalmazról==
* '''Tétel''' – Ha ''H'' [[véges halmaz]] és elemszáma az ''n'' természetes szám, akkor ''H'' hatványhalmazának [[számosság]]a <math>| \mathcal{P}(H) | = 2^n</math>.
 
:''Megjegyzés:'' Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló jelölést.
 
* '''Tétel''' – ''([[Cantor-tétel]])'' – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál.
 
Jelben: <math>| \mathcal{P}(H) | > |H|</math>.
 
* '''Tétel''' – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a [[valós számok]] halmazának számosságával, azaz [[kontinuum-számosság]]ú. Tömören: <math>|\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |\mathbb{R}|</math>.
 
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.
 
* '''Állítás''' – Ha ''H'' halmaz, akkor a
* <math>(\mathcal{P}(H),\cup)</math> és <math>(\mathcal{P}(H),\cap)</math> (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes [[félcsoport]]ok
* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\cup</math>-val és <math>\cap</math>-val mint műveletekkel ellátva [[Boole-algebra|Boole-algebrát]] alkot
* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\subseteq</math> relációval ellátva [[Boole-háló]]t alkot.
 
Továbbá a [[mértékelmélet (matematika)|mértékelmélet]] számára fontos tény, hogy a <math>\mathcal{P}(H)</math> hatványhalmaz [[halmazgyűrű]], sőt <math>\sigma</math>-algebra ([[szigma-algebra]]).
==Hasonló konstrukciók==
Ha <math>X</math> egy halmaz, akkor <math>\mathcal P_\kappa(X) = \{ U \subseteq X : |U| < \kappa \}</math> azt a halmazrendszert jelöli, mely az <math>X</math> halmaz <math>\kappa</math>-nál kevesebb elemet tartalmazó részhalmazaiból áll. Például <math>\mathcal P_3(\{a,b,c\}) = \{ \emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}</math>. A teljes <math>\{a,b,c\}</math> halmaz hiányzik, hiszen nem tartalmaz kevesebb, mint három elemet.