„Tömegközéppont” változatai közötti eltérés

link
(→‎Égitestek tömegközéppontja (baricentrum): A gravitációs vonzásra vonatkozó, nyilvánvalóan téves részek törlése.)
(link)
Címke: 2017-es forrásszöveg-szerkesztő
== Definíció ==
 
Egy részekből álló rendszer tömegközéppontjának <math>\mathbf{R}</math> helyét a részek <math>m_i</math> [[tömeg]]ével súlyozott <math>\mathbf{r}_i</math> helyének átlagával definiálhatjuk:
:<math>\mathbf{R} = \frac 1M \sum m_i \mathbf{r}_i</math>
ahol <math>M</math> a rendszer össztömege, mely egyenlő a részek tömegének összegével.
== Története ==
 
A tömegközéppont fogalmát először [[szürakuszai]] [[Arkhimédész]], görög matematikus, fizikus és mérnök vezette be. Arkhimédész megmutatta, hogy egy merev test súlya által különböző pontokra vett [[nyomaték]]a ugyanannyi, mintha a súlya egyetlen pontba, a tömegközéppontjába lenne koncentrálva. A folyadékokról írt munkájában megmutatta, hogy a folyékony testek olyan alak felvételére törekednek, hogy súlypontjuk a lehető legalacsonyabban helyezkedjék el. Matematikai módszereket fejlesztett ki különböző alakú, állandó sűrűségű geometriai idomok súlypontjának (tömegközéppontjának) meghatározására: így különösen háromszögre, félgömbre és forgási paraboloidra.
 
== Lemez tömegközéppontjának meghatározása méréssel ==
Bonyolult alakú, ismeretlen méretű merev test (például gép) tömegközéppontját mérleg segítségével is meg lehet határozni. Az ábra szerint három mérleggel (1, 2 és 3) kell alátámasztani a testet, és leolvasni az egyes súlyokat, valamint az alátámasztások távolságát. A tömegközéppont ismeretlen '''H''' távolsága a 2. és 3. alátámasztást összekötő egyenestől így számítható:
 
:<math>H = {G_1 \cdot h \over G}, G = {G_1 + G_2 + G_3} </math>,
 
ahol
:'''G''' a test összsúlya.
 
Így az egyik súlyvonal meghatározható. Másik (például az 1-3 egyenessel párhuzamos) súlyvonal hasonló módon határozható meg. A mérés egyetlen mérleg segítségével is elvégezhető, ekkor a másik két alátámasztás merev, és a mérést meg kell ismételni úgy, hogy mindegyik alátámasztást rendre mérleggel helyettesítjük.
 
== Mozgás ==
 
ahol:
:''a'' a két test tömegközéppontjainak távolsága;
:''m''<sub>1</sub> és ''m''<sub>2</sub> a két test [[tömeg]]e.
 
''r''<sub>1</sub> az első test pályája főtengelyének a fele és ''r''<sub>2</sub> = ''a'' – ''r''<sub>1</sub> a másik test pályája főtengelyének a fele. Amikor a baricentrum a nagyobbik tömegű égitesten ''belül'' helyezkedik el, ez a test inkább ''imbolyog'', mintsem határozott pályán mozogna.
 
Az alábbi táblázat néhány példát hoz fel saját [[Naprendszer]]ünkből. A számok három [[Értékes jegyek|értékes számjegyre]] kerekítettek. Az utolsó két oszlop ''R''<sub>1</sub>, a nagyobbik tömegű test sugara, és ''r''<sub>1</sub>/''R''<sub>1</sub> a baricentrum távolságának és ennek a sugárnak a viszonya: ha ennek értéke egynél kisebb, akkor a baricentrum az első égitest belsejében van.
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|}
 
Ha ''m''<sub>1</sub> >> ''m''<sub>2</sub> – ami igaz a Nap és bármely bolygó esetében, akkor az ''r''<sub>1</sub>/''R''<sub>1</sub> hányados közelítőleg így írható:
 
:<math>{a \over R_1} \cdot {m_2 \over m_1}</math>
 
<!--
 
The calculations above are based on the mean distance between the bodies and yield the mean value ''r''<sub>1</sub>. But all celestial orbits are eliptical, and the distance between the bodies varies between the [[apsis|apses]], depending on the [[eccentricity (orbit)|eccentricity]], ''e''. Hence, the position of the barycenter varies too, and it is possible in some systems for the barycenter to be ''sometimes inside and sometimes outside'' the more massive body. This occurs where:
 
 
Note that the Sun-Jupiter system, with ''e''<sub>Jupiter</sub> = 0.0484, just fails to qualify: 1.05 '''≯''' 1.07 > 0.954.
 
-->