„Jólrendezési tétel” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Nyelvtani javítás kézi ellenőrzéssel: a szóvégi magánhangzó megnyúlik a toldalék előtt. (Idegen szavaknál és neveknél is, lásd OH. 276. oldal.) Káros kötőjelek ki, szükségesek be. |
Szerintem szebb így, áttekinthetőbb. Főleg a szakaszolás |
||
5. sor:
A tétel és az eredeti bizonyítás [[Ernst Zermelo|Ernst Zermelótól]] származik. Ebben a bizonyításban mondta ki először Zermelo a kiválasztási axiómát.
Legyenek <math>A</math> és <math>B</math> egy tetszőleges <math>(R, \leq)</math> részbenrendezett halmaz részhalmazai. Azt mondjuk, hogy <math>A</math> '''szelete''' <math>B</math>-nek, ha <math>A=B</math> vagy valamely <math>b\in B</math>-re <math>A = \{x< b: x\in B\}</math>.
A tételt [[Hausdorff–Birkhoff-tétel]] felhasználásával fogjuk bizonyítani. Legyen <math>H</math> tetszőleges halmaz. A bizonyításhoz tekintsük az összes lehetséges <math>(A, \leq)</math> jólrendezett halmazt, ahol <math>A \subseteq H</math>. Két ilyen jólrendezett halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha nem csak az alaphalmazok elemei egyeznek meg, de a rajtuk megadott <math>\leq</math> reláció is. Definiáljuk most a <math>\leq_1</math> részbenrendezést az így képezett jólrendezett halmazok halmazán a következőképpen: <math>(A, \leq) \leq_1 (B, \leq)</math> akkor és csak akkor, ha <math>A</math> szelete <math>B</math>-nek. A Hausdorff–Birkhoff-tétel szerint az így definiált részbenrendezett halmazban van maximális rendezett részhalmaz, legyen ez <math>(A_1, \leq), (A_2, \leq), \ldots</math>. Legyen ezeknek az egyesítése <math>(M, \leq)</math>, ahol <math>\leq</math> az <math>M</math> indukált rendezése, azaz az a rendezés, amelynél a maximális rendezett részhalmazban szereplő jólrendezett halmazokban érvényes relációk továbbra is érvényben maradnak. Azt kell belátnunk, hogy <math>(M, \leq)</math> jólrendezett halmaz és <math>M = H</math>. Vegyük észre, hogy <math>(M, \leq)</math> meg kell egyezzen az őt alkotó jólrendezett halmazok valamelyikével, ugyanis ellenkező esetben a maximális rendezett részhalmazunk bővíthető lenne ezzel a jólrendezett halmazzal, ami ellentmondás. Másrészről ha <math>M \ne H</math>, akkor <math>(M, \leq)</math> bővíthető egy <math>M</math>-en kívüli <math>H</math>-beli elemmel, és az így kapott jólrendezett halmaznak <math>M</math> szelete lenne, ami szintén ellentmond a Hausdorff–Birkhoff-tétel szerint rendezett részhalmaz maximális voltának.▼
===
Legyen <math>H</math> tetszőleges halmaz. A bizonyításhoz tekintsük az összes lehetséges <math>(A, \leq)</math> jólrendezett halmazt, ahol <math>A \subseteq H</math>. Két ilyen jólrendezett halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha nem csak az alaphalmazok elemei egyeznek meg, de a rajtuk megadott <math>\leq</math> reláció is.
▲
Vegyük észre, hogy <math>(M, \leq)</math> meg kell egyezzen az őt alkotó jólrendezett halmazok valamelyikével, ugyanis ellenkező esetben a maximális rendezett részhalmazunk bővíthető lenne ezzel a jólrendezett halmazzal, ami ellentmondás. Másrészről ha <math>M \ne H</math>, akkor <math>(M, \leq)</math> bővíthető egy <math>M</math>-en kívüli <math>H</math>-beli elemmel, és az így kapott jólrendezett halmaznak <math>M</math> szelete lenne, ami szintén ellentmond a Hausdorff–Birkhoff-tétel szerint rendezett részhalmaz maximális voltának.
=== A [[kiválasztási axióma]] felhasználásával (vázlat) ===
Legyen ''H'' tetszőleges halmaz. A bizonyítás lényege az, hogy ''H'' elemeihez [[Rendszám (halmazelmélet)|rendszámokat]] rendelünk egyértelmű módon, azaz megadunk egy bijekciót a halmaz és a rendszámok egy szelete között. Mivel a rendszámok szeletei jólrendezett halmazok, a megfeleltetés jólrendezést generál ''H''-n.
A [[kiválasztási axióma]] azt biztosítja, hogy tudunk tetszőlegesen sokszor új elemet választani ''H''-ból, amit a soron következő rendszámhoz rendelünk hozzá.▼
▲A
Legyen tehát ''F'' egy kiválasztási függvény ''H'' hatványhalmazán: <math>F:\mathcal{P}(H)\rightarrow H ;\ F(A) \in A</math> minden <math>A \subseteq H ;\ A \ne \emptyset</math> esetén.▼
▲Legyen tehát ''F'' egy kiválasztási függvény ''H'' hatványhalmazán: <math>F:\mathcal{P}(H)\rightarrow H ;\ F(A) \in A</math> minden <math>A \subseteq H ;\ A \ne \emptyset</math> esetén. Ilyen kiválasztási függvény létezését a kiválasztási axióma garantálja. Azonban a kiválasztási függvény az üres halmazhoz nem rendel semmit, ''F'' ottani értékét ezért külön kell definiálnunk:
<math>F(\emptyset):=t</math>, ahol ''t'' egy tetszőleges ''H''-n kívüli elem.
Ezután [[transzfinit rekurzió]]val legyártjuk a ''G'' jólrendező függvényt. Minden rendszámhoz hozzárendelünk egy-egy elemet ''H''-ból, mégpedig a következőképp: legyen α egy rendszám. Ha az α-nál kisebb rendszámokra már meghatároztuk ''G'' értékét, nézhetjük ''H''-nak azon elemeit amiket már fölvett a ''G'' függvény az α-nál kisebb rendszámokon. Ezek egy részhalmazt alkotnak. Az ''F'' függvény ezen részhalmazon fölvett értéke lesz ''G''(α). Tehát a <br />▼
▲Ezután [[transzfinit rekurzió]]val legyártjuk a ''G'' jólrendező függvényt. Minden rendszámhoz hozzárendelünk egy-egy elemet ''H''-ból, mégpedig a következőképp: legyen α egy rendszám. Ha az α-nál kisebb rendszámokra már meghatároztuk ''G'' értékét, nézhetjük ''H''-nak azon elemeit amiket már fölvett a ''G'' függvény az α-nál kisebb rendszámokon. Ezek egy részhalmazt alkotnak. Az ''F'' függvény ezen részhalmazon fölvett értéke lesz ''G''(α). Tehát a
: <math>G(\alpha)=F(H \setminus \{G(\beta) \mid \beta < \alpha \})</math>
rekurzió megoldása lesz ''G'', a traszfinit rekurzió tétele szerint ''G'' létezik és egyértelmű. Ez a ''G'' még nem függvény, hanem ún. operáció, mert az értelmezési tartománya -a rendszámok osztálya- nem halmaz. Belátható viszont, hogy ''G'' injektív, amíg föl nem veszi a ''t'' értéket, onnantól kezdve viszont mindig ''t''-t vesz föl:
* <math>G(\alpha) \ne G(\beta) \,</math> , ha <math>\alpha \ne \beta</math> és egyikük sem <math>t</math>. Hiszen ha például α < β, akkor ''G''(β) értékét olyan halmazból választjuk, amiben ''G''(α) már nincs benne.
* <math>\alpha < \beta</math> és <math>G(\alpha)= t \ \Rightarrow \ G(\beta)=t</math>. G(α)=''t'' ugyanis azt jelenti, hogy ''H''-nak már minden elemét fölvette ''G'' α-nál kisebb rendszámokra, és így β esetén még inkább ez a helyzet.
29 ⟶ 35 sor:
Ez a bizonyítás nem tartalmazza a transzfinit rekurzió pontos leírását.
A jólrendezési tétel ekvivalens a következő állításokkal:
* [[kiválasztási axióma]]
37 ⟶ 43 sor:
* [[Tyihonov-tétel]]
* A jólrendezési tétel következménye, hogy létezik kiválasztási függvény, azaz a kiválasztási axióma teljesül, mert ekkor definiálhatjuk úgy a kiválasztási függvényt, hogy az rendelje hozzá minden részhalmazhoz az adott részhalmaz legkisebb elemét.
* A valós számok fölött is van jólrendezés, habár ilyet még senki nem tudott megadni.
== Források ==
| |||