„Maxwell-egyenletek” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Hibás epszilonok javítva |
a link kékítés AWB |
||
34. sor:
továbbá '''B'''= µ'''H''', ahol µ a közeg mágneses [[permeabilitás]]a, valamint '''D'''=ε'''E''', ahol ε a közeg elektromos [[permittivitás]]a. Ebben a formájában az egyenleteket nevezik '''makroszkopikus''' Maxwell-egyenleteknek, vagy Maxwell-egyenleteknek '''anyagban'''. Amennyiben a permittivitás és a permeabilitás esetén a vákuumértéket vesszük, valamint az elektromos eltolás és a mágneses térerősség helyére a megfelelő képlettel behelyettesítjük az elektromos térerősséget és a mágneses indukciót, akkor megkapjuk az ún. '''mikroszkopikus''' egyenleteket vagy Maxwell-egyenleteket '''vákuumban'''. Ezek anyagban is használhatók, de akkor az anyagot részecskénként kell számításba venni a vákuumban, ami általában megoldhatatlanul bonyolult problémához vezet:
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
61 ⟶ 60 sor:
Fenti táblázatokban a divergenciás egyenletekből adódó Gauss-típusú integrálok zárt felületeken értendőek, a térfogati integrál pedig az ezen felület által bezárt térfogaton. A rotációs egyenletekből adódó Stokes-típusú integrálok közül a vonalintegrálokat zárt hurkon kell kiszámítani, az egyenletek folytatásaként adódó felületi integrálok pedig ezen hurokra illeszkedő nyílt szájú kifelé irányított zsákfelületre vonatkoznak.
=== Az egyenletekben szereplő mennyiségek ===
A következő táblázat megadja az egyenletekben szereplő mennyiségek nevét és mértékegységét Méter/Szekundum/Volt/Amper[[SI
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
116 ⟶ 114 sor:
A differenciális egyenletek matematikai szempontból többváltozós, lineáris, csatolt [[Differenciálegyenlet|parciális differenciálegyenlet]]-rendszert alkotnak, így megoldásukhoz meg kell adni a [[kezdőfeltétel]]eket és a [[Peremérték-probléma|peremfeltételeket]]. A divergenciás egyenletek kezdőfeltétel jellegűek: ha fennállnak az elektrodinamikai mozgás kezdetekor, akkor később is érvényesülnek, egyfajta [[kényszerfeltétel|kényszert]] rónak az elektrodinamikai rendszer időfejlődésére.
A Maxwell-egyenletek megengedik azt is, hogy a megoldás esetleg ugrásszerűen változzon bizonyos felületeken. Ebben az esetben a minden egyes tartományban megoldják a differenciális egyenleteket, majd a tartományok határán az egyes megoldásokat az ún. ''határfeltételek''kel illesztik.
Határfeltételek mikroszkopikus egyenletek esetében:
123 ⟶ 121 sor:
* 2. Az elektromos térerősség normális komponense ugrik, ha a felületen töltéseloszlás van jelen: <math>\mathbf{n}\cdot(\mathbf{E}_{2}-\mathbf{E}_{1})=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}</math>
* 3. A mágneses indukció érintőirányú komponense ugrik, ha a felületen felületi áram van jelen: <math>\mathbf{n}\times(\mathbf{B}_{2}-\mathbf{B}_{1})=\mu_0\mathbf{j}</math>
* 4. A mágneses indukció normális komponense folytonosan megy át a felületen: <math>\mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_{1}-\mathbf{B}_{2})=0</math>
Határfeltételek makroszkopikus egyenletek esetében:
130 ⟶ 128 sor:
* 2. Az elektromos indukció normális komponense ugrik, ha a felületen szabad töltéseloszlás van jelen: <math>\mathbf{n}\cdot(\mathbf{D}_{2}-\mathbf{D}_{1})=\sigma_{sz}</math>
* 3. A mágneses térerősség érintőirányú komponense ugrik, ha a felületen szabad felületi áram van jelen: <math>\mathbf{n}\times(\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1})=\mathbf{j}_{sz}</math>
* 4. A mágneses indukció normális komponense folytonosan megy át a felületen: <math>\mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_{1}-\mathbf{B}_{2})=0</math>
== A Maxwell-egyenletek kovariáns alakja ==
A klasszikus mechanika szimmetriacsoportja az ún. [[Galilei-csoport]]: minden egyenletének alakja és a benne szereplő konstansok invariánsak a csoport elemei, mint transzformációk hatására. A Maxwell-egyenletek szimmetriacsoportja nem a Galilei-csoport. Ennek a ténynek a szemléltetésére általában a vákuumbeli síkhullámmegoldásokat hozzák fel. Vákuumban a mikroszkopikus egyenletek a
:<math> \nabla \cdot \mathbf{E}= 0 </math>
143 ⟶ 140 sor:
alakot veszik fel. Ezek átalakításával adódnak az '''E'''-re és a '''B'''-re vonatkozó hullámegyenletek:
: <math> \Delta \mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0, </math>
: <math> \Delta \mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0, </math>
173 ⟶ 170 sor:
Ha feltesszük, hogy a Galilei-csoportot alkotó transzformációk meghagyják az egyenletek alakját és a benne szereplő konstansokat, akkor a hullámegyenletek alakja <math> \mathcal{K'} </math> rendszerben
: <math> \Delta' \mathbf{E}'-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}'}{\partial t'^2}=0, </math>
: <math> \Delta' \mathbf{B}'-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{B}'}{\partial t'^2}=0, </math>
185 ⟶ 182 sor:
Az előzőekben közölt számítások szerint azonban
:<math>c'=\sqrt{c^2-2\cdot\mathbf{c\cdot V}+V^2}=c,</math>
ami csak a legritkább esetben teljesül, tehát ellentmondás lépett fel.
Ha felírjuk a [[kontinuitási egyenlet]]et:
212 ⟶ 209 sor:
Így a Lorentz-feltétel kovariáns alakja:
:<math> {\partial A^\mu \over \partial x^\mu}=0</math>
== Külső hivatkozások ==
| |||