|
'''2. Két, egyenlő alapú és egyenlő magasságú paralelogramma átdarabolható egymásba.'''
Tegyük fel, hogy az ''<math>ABCD''</math> és az ''ABC1D1''<math>ABC_1D_1</math> paralelogrammák az ''<math>AB''</math> [[egyenes]] ugyanazon oldalán fekszenek. Feltehető, hogy az egyik nem téglalap, különben [[egybevágóság|egybevágók]], és kész a bizonyítás.
Ha ''<math>D''</math> a ''D1C1''<math>D_1C_1</math> [[szakasz (geometria)|szakaszon]] helyezkedik el, akkor az ''ADD1''<math>ADD_1</math> és a ''BCC1''<math>BCC_1</math> háromszögek egybevágók, ezért az ''ABC1D''<math>ABC_1D</math> trapézt ezek segítségével lehet kiegészíteni az egyik, vagy a másik [[paralelogramma|paralelogrammára]].
Ha ''<math>D''</math> nincs a ''D1C1''<math>D_1C_1</math> szakaszon, akkor legyen az ''<math>AD''</math> és a ''BC1''<math>BC_1</math> szakasz metszéspontja ''<math>P''</math>. ''<math>AB''</math> és ''<math>P''</math> távolságával párhuzamosokat húzunk ''<math>AB''</math>-hez, először ''<math>P''</math>-n át, majd egészen addig, amíg túl nem lépjük a ''<math>CD''</math> egyenest. A kapott kis paralelogrammákat tovább daraboljuk egyik átlójuk behúzásával, mégpedig az ''<math>ABCD''</math>-ben levőkét a ''BC1''<math>BC_1</math>-gyel, és az ''ABC1D1''<math>ABC_1D_1</math>-ben fekvőkét az ''<math>AD''</math>-vel párhuzamos átlójukkal. Ezzel a kis paralelogrammákat egybevágó háromszögekké vágtuk fel, az utolsó lépésben kapottakat kivéve, ahol is egy-egy, páronként egybevágó háromszög és trapéz keletkezik.
'''3. Minden téglalap átdarabolható olyan téglalappá, amelynek az egyik oldala adott. '''
Az ''<math>ABCD''</math> téglalapot így daraboljuk át úgy, hogy egyik oldala ''<math>a''</math> hosszú legyen:
Ha ''<math>a''</math> rövidebb a téglalap kisebb oldalánál (most ez legyen ''<math>BC''</math>), akkor a téglalapot az egyik oldalával párhuzamosan felcsíkozzuk, és a kapott kis téglalapokat egymás mellé tesszük. <!--És mi van, ha ''<math>a''</math> mindkét oldallal inkommenzurábilis? Gy. k.: irracionális az arányuk.-->
Tegyük fel, hogy ''<math>a''</math> hosszabb a téglalap rövidebb oldalánál. Ekkor van egy ''C1''<math>C_1</math> és ''D1''<math>D_1</math> pont a ''<math>CD''</math> egyenesen, hogy ''BC1''<math>BC_1=''AD1''AD_1=''a''</math>. Ezért az ''<math>ABCD''</math> és az ''ABC1D1''<math>ABC_1D_1</math> olyan paralelogrammák, amelyeknek közös az alapja, és egyenlő a magassága, így 2. szerint átdarabolhatók egymásba, tehát ''<math>ABCD''</math> is átdarabolható az ''<math>a''</math> oldalú, ''BC1''<math>BC_1</math> alapú téglalappá, aminek a másik két csúcsa a ''D1A''<math>D_1A</math> egyenesre esik.
'''4. A tétel bizonyítása.''' Az ''S1''<math>S_1</math> és az ''S2''<math>S_2</math> egyenlő [[terület (matematika)|területű]] [[sokszög]]eket háromszögekre vágjuk. 1. szerint ezeket a háromszögeket téglalapokká daraboljuk át, és a kapott téglalapokat 3. szerint adott ''<math>a''</math> oldalhosszú téglalappá. Ezeket egymás mellé helyezve két egybevágó téglalapot kapunk, amik nyilván egymásba átdarabolhatók.
== Általánosítása ==
| 