„Kongruencia” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
49. sor:
A kongruenciára kimondható számos, az egyenlőségre érvényes azonosság megfelelője: kongruens számok összege és szorzata is kongruens. Legyen <math>a,b,c,d \in \mathbb Z</math> és <math>m,n \in \mathbb Z^+</math>. Ekkor
* <math>a\equiv b \pmod{m},\ c\equiv d \pmod{m} \Rightarrow a+c\equiv b+d \pmod{m}</math>
* <math>a\equiv b \pmod{m},\ c\equiv d \pmod{m} \Rightarrow a-c\equiv b-d \pmod{m}</math>
* <math>a\equiv b \pmod{m},\ c\equiv d \pmod{m} \Rightarrow ac\equiv bd \pmod{m}</math>
54 ⟶ 55 sor:
:<math>a \equiv b \pmod{0} \Rightarrow a = b</math>.
Ha <math>f \in \mathbb{Z}[X]</math> polinom az egész számok fölött, akkor
:<math>f(a) \equiv f(a') \pmod{m}</math>
=== Kongruencia osztása egész számmal ===
Az osztásnál már nem olyan egyszerű a helyzet, mint az egyenleteknél, ugyanis ha a szám amivel osztani szeretnénk nem relatív prím a modulussal, akkor a modulust is osztani kell.<br />
Legyen <math>\ d=(c,m)</math> a ''c'' és ''m'' egészek [[legnagyobb közös osztó]]ja. Ekkor <math>ac\equiv bc\pmod{m} \Leftrightarrow a\equiv b \pmod{\frac{m}{d}}</math>.<br />
Megjegyzés: a tétel következménye, hogy <math>ac\equiv bc \pmod{m}, (c,m)=1 \Rightarrow a \equiv b \pmod{m}</math>.
Ez azt is jelenti, hogy, ha <math>d</math> osztója <math>m</math>-nek, akkor <math>a\equiv b \pmod m</math> esetén <math>a\equiv b \pmod d</math>.
Ennek az állításnak megnézzük a '''bizonyítását''' is, a többi állításé is hasonlóan történik.
78 ⟶ 83 sor:
A tétel egy másik, gyakori alakja:
:Ha <math>a</math> egész szám, <math>p</math> [[prímszámok|prím]], akkor <math>a^{p} \equiv a \pmod{p} </math>.
===Kínai maradéktétel===
A kínai maradéktétel szerint:
Ha <math>m_1, m_2, \dotsc, m_k</math> nullától különböző egész számok, és <math>m</math> a [[legkisebb közös többszörösük]], akkor:
:<math>a \equiv a' \pmod{m_\kappa}</math> für alle <math>\kappa = 1, 2, \dotsc, k \quad \Leftrightarrow \quad a \equiv a' \pmod{m}</math>
== A kongruenciaosztályok gyűrűje ==
| |||