„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

=== Pólya György bizonyítása ===
 
[[Pólya György]] bizonyítása, ami az analízis mély fogalmait használja,. az [[exponenciális függvény]] következő tulajdonságára épül: <math>e^x\geq 1+x</math> ha <math>\,x</math> valós, egyenlőség csak akkor áll, ha <math>\,x=0</math>.
 
Tegyük fel tehát, hogy adottak az <math>a_1,\dots,a_n</math> pozitív számok, számtani közepük <math>\,A</math>. Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az <math>\frac{a_i}{A}-1</math> (<math>i=1,\dots,n</math>) számokra:
Tegyük fel tehát, hogy adottak az <math>a_1,\dots,a_n</math> nemnegatív számok, számtani közepük <math>\,A</math>.
 
Ha <math>A=0</math>, akkor <math>a_i=0</math>, (<math>i=1,...n</math>) tehát az egyenlőség teljesül:
 
<math>\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}</math>
 
Tegyük fel, hogy a számok pozitívok: <math>a_i>0,\quad i=1,...n</math>
 
Ekkor <math>A>0</math>
 
Legyen <math>f(x):=e^x-x-1, \quad x\in\mathbb{R}</math>
 
A függvény első deriváltja:
 
<math>f'(x)=e^x-1</math>
 
A második derivált:
 
<math>f''(x)=e^x</math>
 
<math>f''(x)=e^x >0, \quad x\in \mathbb{R}</math>
 
A <math>0=f'(x)=e^x-1 </math> egyenlet egyetlen megoldása: <math>x=0</math>
 
Ezekből az következik, hogy az <math>f</math> függvénynek csak <math>x=0</math> helyen van szélsőértéke és ott minimuma van. Továbbá <math>f(0)=e^0-0-1=0</math>.
 
Összefoglalva: Minden <math>x\in \mathbb{R}</math> esetén <math>f(x)\geq 0</math> és <math>f(x)=0</math> pontosan akkor, ha <math>x=0</math>.
 
Kifejtve:
 
<math>e^x-x-1\geq 0</math>
 
<math>e^x\geq 1+x</math> és az egyenlőség csak akkor áll, ha <math>x=0</math>.
 
Tegyük fel tehát, hogy adottak az <math>a_1,\dots,a_n</math> pozitív számok, számtani közepük <math>\,A</math>. Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az <math>\frac{a_i}{A}-1</math> (<math>i=1,\dots,n</math>) számokra:
<center><math>e^{\frac{a_i}{A}-1}\geq\frac{a_i}{A}</math></center>
Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy
[[Riesz Frigyes]] bizonyítása a következő:
 
Továbbra is feltesszük, hogy <math>a_i\geq 0,\quad i=1,...n</math>
 
==== 1. Az összes szám megegyezik ====
<math>0=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}<A \qquad (2)</math>
 
A továbbiakban tegyük fel, hogy az összes szám pozitív: <math>a_i>0,\quad i=1,...n</math>
 
A mértani középértéket jelöljük <math>B_1</math>-el:
242

szerkesztés