„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

<math>\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}</math>
 
Tegyük fel, hogy a számok pozitívok: <math>a_i>0,\quad i=1,...,n</math>
 
Ekkor <math>A>0</math>.
 
Legyen <math>f(x):=e^x-x-1, \quad x\in\mathbb{R}</math>
 
A<math>f</math> függvény első deriváltja:
 
<math>f'(x)=e^x-1</math>
 
A<math>f</math> második deriváltderiváltja:
 
<math>f''(x)=e^x</math>
 
A második derivált mindenhol pozitív:
 
<math>f''(x)=e^x >0, \quad x\in \mathbb{R}</math>
A <math>0=f'(x)=e^x-1 </math> egyenlet egyetlen megoldása: <math>x=0</math>
 
Ezekből az következik, hogy az <math>f</math> függvénynek csak <math>x=0</math> helyen van [[Szélsőérték|szélsőértéke]] és ott minimuma van. Továbbá <math>f(0)=e^0-0-1=0</math>.
 
Összefoglalva: Minden <math>x\in \mathbb{R}</math> esetén <math>f(x)\geq 0</math> és <math>f(x)=0</math> pontosan akkor, ha <math>x=0</math>.
[[Riesz Frigyes]] bizonyítása a következő:
 
Továbbra is feltesszük, hogy <math>a_i\geq 0,\quad i=1,...,n</math>
 
==== 1. Az összes szám megegyezik ====
 
==== 2. A számok nem egyenlőek ====
Mivel nem lehet minden szám nulla, továbbá minden <math>a_i\geq 0</math> (<math>i=1,...,n</math>), ezért a számtani középérték nyilván pozitív: <math>A>0</math>.
 
Ha bármelyik <math>a_i=0</math>, akkor a mértani középérték nulla, így az egyenlőtlenség teljesül:
<math>0=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}<A \qquad (2)</math>
 
A továbbiakban tegyük fel, hogy az összes szám pozitív: <math>a_i>0,\quad i=1,...,n</math>
 
A mértani középértéket jelöljük <math>B_1</math>-el:
Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem. Az általánosság elvesztése nélkül tegyük fel, hogy ezek az <math>a_1</math> és <math>a_2</math> elemek:
 
<math>a_1=\min\{a_1,a_2,...,a_n\}</math>
 
<math>a_2=\max\{a_1,a_2,...,a_n\}</math>
 
Nyilván igaz a következő egyenlőtlenség:
Az eredeti sorozat alapján állítsunk elő egy második sorozatot, melynek első két tagja <math>A</math> és <math>(a_1+a_2-A)</math>:
 
<math>A,\; a_1 +a_2-A,\; a_3,...,a_n</math>
 
A második sorozat számtani középértéke nem változik:
<math>A(a_1+a_2-A)a_3\cdots a_n>a_1 a_2 a_3\cdots a_n</math>
 
Kihasználtuk, hogy minden elem pozitív: <math>a_i>0</math>, <math>i=1,...,n</math>
 
Megmutattuk, hogy a módosított sorozat mértani középértéke nagyobb, mint az eredeti sorozat mértani középértéke:
<math>B_1<B_2<...<B_p</math>
 
Ebből következik, hogy:
 
<math>B_1<B_p=A</math>
242

szerkesztés