„Másodfokú egyenlet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Visszaállítottam a lap korábbi változatát 2001:4C4C:171E:9300:0:0:0:1000 (vita) szerkesztéséről Dkuratowski szerkesztésére Címke: Visszaállítás |
a Formázás, HTML kód javítása |
||
1. sor:
[[Fájl:Polynomialdeg 2.svg|bélyegkép|jobbra|200px|Egy [[másodfokú függvény]] grafikonja:
A [[matematika|matematikában]] a '''másodfokú egyenlet''' egy olyan [[egyenlet]], amely ekvivalens algebrai átalakításokkal olyan egyenlet alakjára hozható, melynek egyik oldalán másodfokú [[polinom]] szerepel
: <math>ax^2+bx+c=0\mbox{ , ahol }a\ne 0
Az <math>a\,\!</math>, <math>b\,\!</math> és <math>c\,\!</math> betűket [[együttható]]knak nevezzük: <math>a\,\!</math> az <math>x^2\,\!</math> együtthatója, <math>b\,\!</math> az <math>x\,\!</math> együtthatója, és <math>c\,\!</math> a [[konstans (matematika)|konstans]] együttható.
10. sor:
A [[valós számok|valós]] vagy [[komplex számok|komplex]] együtthatójú másodfokú egyenletnek két komplex gyöke van, amelyeket általában <math>x_1\,\!</math> és <math>x_2\,\!</math> jelöl, noha ezek akár egyezőek is lehetnek. A gyökök kiszámítására a másodfokú egyenlet megoldóképletét használjuk.
: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math>
A másodfokú egyenlet megoldóképletében a gyökjel alatti kifejezést az egyenlet '''diszkrimináns'''ának nevezzük: <math>D\ = b^2 - 4ac\,\!</math>.
Ha valós együtthatós az egyenlet, akkor
* D > 0 esetén két különböző valós gyöke van
* D = 0 esetén két egyenlő (kettős gyöke) van,
* D < 0 esetén nincs megoldása a valós számok között.
=== Megoldóképlet levezetése teljes négyzetté alakítással ===
A másodfokú egyenlet [[megoldóképlet]]ét a teljes négyzetté való kiegészítéssel vezethetjük le.
: <math>ax^2+bx+c=0 \,\!</math>
Elosztva a másodfokú egyenletet <math>a\,\!</math>-val (ami megengedett, mivel <math>a\ne 0
: <math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0</math>
ami átrendezve
: <math>x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
Az egyenletnek ebben a formájában a bal oldalt teljes négyzetté alakítjuk. Egy [[konstans (matematika)|konstanst]] adunk az egyenlőség bal oldalához, amely <math>x^2+2xy+y^2\,\!</math> alakú teljes négyzetté egészíti ki. Mivel <math>2xy\,\!</math> ebben az esetben <math>\frac{b}{a} x</math>, ezért <math>y = \frac{b}{2a}</math>, így <math>\frac{b}{2a}</math> négyzetét adva mindkét oldalhoz azt kapjuk, hogy
: <math>x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}
A bal oldal most <math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)</math> teljes négyzete. A jobb oldalt egyszerű törtként írhatjuk fel, a közös nevező <math>4a^2\,\!</math>.
: <math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
[[Négyzetgyök]]öt vonva mindkét oldalból
: <math>\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{|2a|}\Leftrightarrow</math><math>x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math>
Kivonva <math>\frac{b}{2a}</math>-t mindkét oldalból megkapjuk a megoldóképletet:
: <math>x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}
Szélsőérték helye: <math>-\frac{b}{2a}</math>
55 ⟶ 53 sor:
Ha a [[diszkrimináns]] értéke negatív, a következőképpen kell számolni:
: <math>x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\left(-1\right)\left(4ac-b^2\right)\ }}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm i\frac{\sqrt{4ac-b^2\ }}{2a}</math>
A megoldás ilyenkor egy komplex konjugált gyökpár lesz.
=== Alternatív módja a megoldóképlet levezetésének ===
Az előző levezetéssel szemben szinte törtmentesen is teljes négyzetté alakíthatunk, ha első lépésben beszorzunk <math>4a</math>-val. Ekkor a következőképpen járhatunk el:
: <math>\begin{align}
ax^2 + bx + c &= 0 \\
4a^2x^2 + 4axb + 4ac &= 0 \\
78 ⟶ 74 sor:
Végeredményül pedig ugyanúgy eljutunk a közismert képlethez:
: <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
== Viète-formulák ==
87 ⟶ 83 sor:
== Kódok ==
=== HTML(JavaScript) ===
<syntaxhighlight lang="html">
<!-- Ez meg tudja oldani a komplex gyököket is. -->
<html>
<
<title>Másodfokú egyenlet megoldó</title>
<body>
<input name='a' size=4> * x<sup>2</sup> + <input name='b' size=4> *x + <input name='c' size=4> = 0▼
<form id='page'
<
<h1>Másodfokú egyenlet megoldó</h1>
▲ <p><input name='a' size=4> * x<sup>2</sup> + <input name='b' size=4> * x + <input name='c' size=4> = 0
<p><input type='button' value='Megold' onclick='root();'></p>
<hr>
x<sub>1</sub> = <input name='x1' size=16 readonly> + <input name='x1i' size=16 readonly> i <br>
x<sub>2</sub> = <input name='x2' size=16 readonly> + <input name='x2i' size=16 readonly> i <br>
</center>
</form>
<script>
function root()
{
alert("Az x^2 együtthatója nem lehet 0.");
}▼
x2 = ((-b-Math.sqrt(d))/2/a);
x1i = (Math.sqrt(-d)/2/a);
document.page.x1i.value = x1i;
document.page.x2i.value = x2i;
}
</script>
</body>
</html>
</syntaxhighlight>
141 ⟶ 142 sor:
=== C++ ===
<syntaxhighlight lang="c++">
// Ez meg tudja oldani a komplex gyököket is
#include <iostream>
#include <cmath>
| |||