„Kommutatív algebra” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→‎Lásd még: K-elmélet
 
131. sor:
A Noether-gyűrűk viszonylag jól viselkednek a Krull-dimenzióra nézve: ennek alapját Krull főideáltétele és ennek következménye, Krull magasságtétele jelentik.
 
'''{{vhorgony|Krull főideáltétele'''}} a következőt állítja: legyen <math>R</math> Noether-gyűrű, <math>r\in R</math> a gyűrű egy eleme, és legyen <math>r\in\mathfrak p\subset R</math> egy tartalmazásra nézve minimális prímideál. Ekkor <math>\operatorname{ht}(\mathfrak p)\le1</math>. Más szavakkal, egy főideál feletti minimális prímideál legfeljebb egy magasságú.
 
'''{{vhorgony|Krull magasságtétele'''}} a főideáltétel induktív következménye, és egyben annak általánosítása nem főideálokra. Legyen <math>R</math> Noether-gyűrű, legyenek <math>r_1,\ldots,r_n\in R</math>, és legyen <math>\mathfrak p</math> egy ezeket tartalmazó minimális prímideál. Ekkor a tétel szerint <math>\operatorname{ht}(\mathfrak p)\le n</math>.
 
Mivel Noether-gyűrűben minden ideál végesen generált, a magasságtételből következik, hogy minden prímideál magassága véges. Az ugyanakkor lehetséges, hogy ezek a magasságok nem korlátosak, és így a gyűrű Krull-dimenziója végtelen; erre először [[Nagata]] adott példát.{{refhely|Eisenbud|Exercise 9.6.}}