|
=== [[Mikrogravitáció|Súlytalanság]] szabadesés közben ===
[[Súly]]nak nevezzük a fizikában azt az erőt, amellyel a test nyomja az alátámasztást, vagy húzza a felfüggesztést. A szabadon eső test nincs sem alátámasztva, sem felfüggesztve, tehát a szabadon eső test súlytalan. Természetesen szabadesés közben is hat a testre a gravitációs mező, éppen ezért gyorsul a föld felé.
=== Szabadesés inhomogén gravitációs mezőben ===
Az <math>M</math> tömegű testtől elég távol már nem teljesül, hogy a nehézségi gyorsulás állandó lenne. Megpróbáljuk egy <math>m</math> tömegű test szabadesését leírni az ''inhomogén'' - változó nagyságú - gravitációs mezőben. Az <math>m</math> tömegű szabadon eső testet próbatestnek, az <math> M
</math> tömegű test tömegközéppontját pedig vonzócentrumnak nevezzük.
Jelöljük <math>r</math>-el a próbatest távolságát a vonzócentrumtól. A próbatest kezdetben (<math>t=0</math> -ban) <math>r=r_0</math> távolságra van a vonzócentrumtól. A kezdősebessége nulla: <math>v_0=0</math>.
Az <math>r=r(t)</math> képletet nem tudjuk megadni, de fel tudunk írni egy <math>t=t(\varphi)</math> és egy <math>r=r(\varphi)</math> összefüggést, ahol <math>\varphi</math> egy absztrakt szög:
<math>0<\varphi\leq\pi</math>.
<math> t(\varphi) = \frac{r_0^{3/2}}{2\sqrt{2GM}}(\pi-\varphi+\sin\varphi)
</math>
<math> r(\varphi)=r_0\sin^2\frac{\varphi}{2}
</math>
Ha <math> \varphi
</math>-t <math> \pi
</math>-től nulláig futtatjuk és közben kiszámoljuk a <math> t(\varphi)
</math> és <math> r(\varphi)
</math> értékeket, akkor megkapjuk a próbatest szabadesését szemléltető <math> t\rightarrow r
</math> diagramot.
Ki tudjuk számolni az <math> r_0
</math> pontból szabadon leejtetett próbatest teljes esési idejét:
<math> T=\lim_{\varphi\rightarrow 0}t(\varphi)=\frac{r_0^{3/2}}{2\sqrt{2GM}}\pi
</math>
A szabadon eső test sebessége:
<math> v(\varphi)=-\sqrt{\frac{2GM}{r_0}}\frac{\cos\frac{\varphi}{2}}{\sin\frac{\varphi}{2}}
</math>
<math> 0<\varphi\leq\pi
</math>
A kezdősebességre a várt nulla értéket kapjuk:
<math> v(\pi)=0
</math>
<math> \lim_{\varphi \rightarrow 0}v(\varphi)=-\infty
</math>
Az utóbbi képlet azt fejezi ki, hogy a tömegpontnak tekintett <math> M
</math> tömegű vonzócentrum közelében a próbatest sebessége minden határon túl nő. Természetesen fizikai realitása annak van, ha a próbatest egy <math> R>0
</math> távolságnál jobban nem közelítheti meg a vonzócentrumot ("ráesik a bolygó felszínére").
Ha arra a kérdésre keressük a választ, hogy egy nagyon nagy távolságból leejtett próbatest mekkora sebességgel éri el a bolygó felszínét, tehát <math>r=R</math> -et, akkor a következőt írhatjuk fel.
Legyen <math>\varphi_1</math> az a szög, amelynél az <math>r_0</math> magasságból elejtett próbatest eléri az <math>R</math> távolságot:
<math>R=r_0 \sin^2 \frac{\varphi_1}{2}</math>
<math>\sin^2\frac{\varphi_1}{2}=\frac{R}{r_0}</math>
<math>v(\varphi_1)^2=\frac{2GM}{r_0}\frac{\cos^2 \frac{\varphi_1}{2}}{\sin^2 \frac{\varphi_1}{2}}=
\frac{2GM}{r_0}\frac{1-\sin^2 \frac{\varphi_1}{2}}{\sin^2 \frac{\varphi_1}{2}}=
\frac{2GM}{r_0}\frac{1-R/r_0}{R/r_0}=\frac{2GM}{R}(1-R/r_0) </math>
<math>\lim_{r_0 \rightarrow \infty}v(\varphi_1)^2= \lim_{r_0 \rightarrow \infty } \frac{2GM}{R} (1-R/r_0)=
\frac{2GM}{R} </math>
<math>|v(\varphi_1)|=\sqrt{\frac{2GM}{R}} </math>
Ha <math>M</math> és <math>R</math> egy bolygó tömege és sugara, akkor ez a bolygóra vonatkozó [[Kozmikus sebesség|második kozmikus (szökési) sebesség]].
Példaképpen számoljuk ki, hogy mennyi ideig tart olyan test szabadesése, amit a Hold távolságából ejtettünk el. A Hold Földtől mért távolsága 384 400 km, tehát a próbatest induló helyzete:
<math>r_0=384,400\cdot 10^6 m</math>
A <math>G</math> gravitációs állandót, a Föld <math>M</math> tömegét és <math>R</math> sugarát már fentebb megadtuk.
A próbatest mozgása <math>r(\varphi_1)=R</math> -nél ér véget, tehát ki kell számolni a Föld sugarához tartozó szöget:
<math>R=r_0\sin^2\frac{\varphi_1}{2}</math>
<math>\sin\frac{\varphi_1}{2}=\sqrt{\frac{R}{r_0}}</math>
A <math>\sin</math> függvény <math>[0,\;\frac{\pi}{2}]</math> intervallumon invertálható, ezért
<math>\varphi_1 = 2\arcsin\sqrt\frac{R}{r_0} \approx 0,25819</math>
A szöghöz tartozó idő:
<math> t(\varphi_1) = \frac{r_0^{3/2}}{2\sqrt{2GM}}(\pi-\varphi_1+\sin\varphi_1) \approx 418907\; sec
</math>
Elmondhatjuk, hogy a próbatest 418907 másodperc esés után éri el a Föld felszínét. Másképp fogalmazva a próbatest 116 óra vagy körülbelül 5 nap alatt esik le.
Mekkora a próbatest sebessége a becsapódáskor?
<math> v(\varphi_1)=-\sqrt{\frac{2GM}{r_0}}\frac{\cos\frac{\varphi_1}{2}}{\sin\frac{\varphi_1}{2}} \approx -11093\; m/s \approx -11\;km/s
</math>
A fentiek alapján a várt eredményt kaptuk, tehát a próbatest nagyjából a [[Kozmikus sebesség|második kozmikus (szökési) sebességgel]] éri el a Föld felszínét.
== Két híres szabadesés-kísérlet ==
| 