Wikipédia

„Örökifjú tulajdonság” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a dőlt betűk javítása változónevekre
22. sor:
A [[geometriai eloszlás]] is örökifjú tulajdonságú.
 
Ha <math>P(X=n) = p(1-p)^n</math>, abban az esetben <math>P(X \ge n) = (1-p)^n</math>, ugyanis
:<math>P(X \ge n) = \sum_{i=n}^{\infty} p(1-p)^i = (1-p)^n\sum_{i=0}^{\infty} p(1-p)^i = (1-p)^n\frac{p}{1-(1-p)} = (1-p)^n</math>.
Ezért
:<math>P(X \ge a+b \, \mid \,X \ge a) = \frac{P(X \ge a+b \, \cap \,X \ge a)}{P(X \ge a)} = \frac{P(X \ge a+b)}{P(X \ge a)} = \frac{(1-p)^{a+b}}{(1-p)^a} = (1-p)^b = P(X \ge b)</math>.
 
:Ha pedig <math>P(X \ge a+b \, \mid \,X \ge a=n) = \frac{Pp(X \ge a+b \, \cap \,X \ge a1-p)}^{P(X \ge a)n-1}</math>, =abban \frac{P(Xaz \geesetben a+b)}{<math>P(X \ge a>n)} = \frac{\sum_{i=an+b}^{\infty} p(1-p)^i}{\sum_{i=a}^{\infty} p(1-p)^i} = \frac{(1-p)^a\sum_{i=b}^{\infty} p(1-p)^i}{(1-p)^a\sum_{i=0}^{\infty} p(1-p)^i} = \frac{\sum_{i=bn}^{\infty} p(1-p)^i}{\frac{p}{1-(1-p)}} = \sum_{i=b}^{\infty} p(1-p)^in</math>, =a P(Xfentihez \gehasonlóan. b).</math>Ebből következően
:<math>P(X>a+b \, \mid \,X>a) = \frac{P(X>a+b \, \cap \,X>a)}{P(X>a)} = \frac{P(X>a+b)}{P(X>a)} = \frac{(1-p)^{a+b}}{(1-p)^a} = (1-p)^b = P(X>b)</math>.
 
Ha pedig <math>P(X=n) = p(1-p)^{n-1}</math>, abban az esetben
 
:<math>P(X>a+b \, \mid \,X>a) = \frac{P(X>a+b \, \cap \,X>a)}{P(X>a)} = \frac{P(X>a+b)}{P(X>a)} = \frac{\sum_{i=a+b+1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}}{\sum_{i=a+1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}} = \frac{(1-p)^a\sum_{i=b+1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}}{(1-p)^a\sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}} = \frac{\sum_{i=b+1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}}{\frac{p}{1-(1-p)}} = \sum_{i=b+1}^{\infty} p(1-p)^{i-1} = P(X>b).</math>
 
A diszkrét eloszlások közül a geometriai az egyetlen örökifjú tulajdonságú.
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Örökifjú_tulajdonság”