„Érinthetetlen számok” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Korr
a Hivatkozásjavaslatok funkció: 2 hivatkozás hozzáadva.
1. sor:
A [[számelmélet]] területén '''érinthetetlen szám''' ''(untouchable number, nonaliquot number)'' olyan pozitív [[Egész számok|egész szám]], ami nem fejezhető ki egyetlen pozitív egész szám [[Osztóösszeg-sorozat|valódi osztóinak összegeként]] sem (beleértve az érinthetetlen számot magát is).
 
A 4 például nem érinthetetlen, mivel előáll a 9 valódi osztóinak összegeként: 1 + 3 = 4. Az 5 érinthetetlen, mivel egyetlen szám valódiosztó-összegeként sem szerepel: 5 = 1 + 4 az egyetlen mód, ahogy az 5-öt fel lehet írni különböző, de az 1-et is tartalmazó pozitív számok összegeként, de ha a 4 osztója egy számnak, akkor a 2 is, tehát 1 + 4 nem lehet az összege egyetlen szám valódi osztóinak sem.
7. sor:
:[[2 (szám)|2]], [[5 (szám)|5]], [[52 (szám)|52]], [[88 (szám)|88]], [[96 (szám)|96]], [[120 (szám)|120]], [[124 (szám)|124]], [[146 (szám)|146]], [[162 (szám)|162]], [[188 (szám)|188]], [[206 (szám)|206]], [[210 (szám)|210]], [[216 (szám)|216]], [[238 (szám)|238]], [[246 (szám)|246]], [[248 (szám)|248]], [[262 (szám)|262]], [[268 (szám)|268]], [[276 (szám)|276]], [[288 (szám)|288]], [[290 (szám)|290]], [[292 (szám)|292]], [[304 (szám)|304]], [[306 (szám)|306]], [[322 (szám)|322]], [[324 (szám)|324]], [[326 (szám)|326]], [[336 (szám)|336]], [[342 (szám)|342]], [[372 (szám)|372]], [[406 (szám)|406]], [[408 (szám)|408]], [[426 (szám)|426]], [[430 (szám)|430]], [[448 (szám)|448]], [[472 (szám)|472]], [[474 (szám)|474]], [[498 (szám)|498]], ... {{OEIS|id=A005114}}
 
Vélhetőleg az 5 az egyetlen páratlan érinthetetlen szám, de ez nem bizonyított: a [[Goldbach-sejtés]] egy kissé megerősített változatából következne, hiszen ''pq'' valódi osztóinak összege (ahol ''p'' és ''q'' különböző prímszámok) éppen 1+''p''+''q''. Tehát, ha egy ''n'' szám felírható két különböző prímszám összegeként, akkor ''n''+1 nem lehet érinthetetlen szám. Valószínűnek tartjuk, hogy minden 6-nál nagyobb [[Páros és páratlan számok|páros szám]] felírható két különböző prímszám összegeként, tehát valószínűnek tartjuk azt is, hogy egyetlen 7-nél nagyobb páratlan szám sem érinthetetlen, továbbá <math>1=s(2)</math>, <math>3=s(4)</math>, <math>7=s(8)</math>, tehát 5 lehet az egyetlen érinthetetlen szám.<ref>Az erősebb kijelentés annyiban áll, hogy az eredeti sejtéshez képest megköveteljük azt is, hogy a két prímszám különböző legyen - lásd {{MathWorld|urlname=UntouchableNumber|title=Untouchable Number|author=Adams-Watters, Frank and Weisstein, Eric W.}}</ref> A fentiekből következően úgy tűnik, hogy a 2 és 5 számokon kívül az összes érinthetetlen szám [[Összetett számok|összetett]]. Egyetlen [[Tökéletes számok|tökéletes szám]] sem lehet érinthetetlen, hiszen legalábbis a saját valódi osztóinak összegeként kifejezhető. Hasonlóan, egyetlen [[barátságos számok|barátságos szám]] és [[társas számok|társas szám]] sem érinthetetlen.
 
[[Erdős Pál]] igazolta, hogy végtelen sok érinthetetlen szám létezik.<ref>P. Erdos, Über die Zahlen der Form <math>\sigma(n)-n</math> und <math>n-\phi(n)</math>. Elemente der Math. 28 (1973), 83-86, [http://planetmath.org/encyclopedia/UntouchableNumber.html]</ref> Chen & Zhao továbbá igazolta, hogy az érinthetetlen számok pozitív [[Természetes sűrűség|aszimptotikus sűrűséggel]] rendelkeznek, ami legalább d>0,06.<ref>Yong-Gao Chen and Qing-Qing Zhao, Nonaliquot numbers, Publ. Math. Debrecen 78:2 (2011), pp. 439-442.</ref>