„Harmonikus sor” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
A hibás (és túlbonyolított) becslést javítottam. |
További javítások. |
||
33. sor:
:<math>\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=s_N<\prod_{i=1}^N\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}=\prod_{i=1}^N\left(1+\frac{1}{p_i-1}\right)</math>.
Mivel <math>0<1+\frac{1}{p_i-1}</math>, vehetjük a két oldal természetes alapú logaritmusát, és becsülhetjük a jobb oldalon a tagokat <math>\ln{x}\le x-1</math>-gyel:
:<math>\ln\left(s_N\right)<\sum_{i=1}^N\ln\left(1+\frac{1}{p_i-1}\right)\le \sum_{i=1}^N\frac{1}{p_i-1}\
mivel <math>p_i\geq2</math>, amiért is <math>p_i/2\leq p_i-1</math>.
Tehát ha <math>N\rightarrow\infty</math>, akkor <math>s_N\rightarrow\infty</math>, <math>\ln\left(
Emiatt a <math>\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{p_i}</math> sor divergens.
| |||