„Szabad csoport” változatai közötti eltérés

a (Kategória javít csoportelméletről absztrakt algebrára.)
A [[matematika|matematikában]], a ''G'' [[csoport]] '''szabad csoport''' ha létezik egyetlenegy ''S'' [[részhalmaz]]a ''G''-nek, hogy ''G'' minden eleme pontosan egyféleképpen írható fel ''S'' elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. (Az egyféleképp úgy értendő, hogy a ''st<sup>-1</sup>'' = ''su<sup>-1</sup>ut<sup>-1</sup>'' jellegű "bővítésektől" eltekintünk.)
 
Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a [[szabad ábeli csoport]].
 
==Konstrukció==
 
Az <math>F_S</math> szabad csoport ''S'' [[generátorhalmaz]]zal való létrehozásához tekintsük a következő algoritmust:
Nevezzük '''szó'''nak az ''S'' elemeibő és azok inverzeiből képzett szorzatokat. Például, ha ''S={a, b, c}'', akkor az alábbi például egy szó:
:<math>a b c^{-1} c a^{-1} c\;\;\longrightarrow\;\;a b \, a^{-1} c</math>
Ha egy szó már nem egyszerűsíthető tovább, akkor '''redukált'''nak nevezik. Az ''F<sub>S</sub>'' szabad csoport ekkor definiálható az összes ''S''-ből származtatott redukált szó összességeként.
 
== Elemi tulajdonságok ==
A szabad csoportok néhány tulajdonsága a definícióból közvetlenül adódik:
* Minden ''G'' csoport valamely ''F(S)'' szabad csoport [[csoporthomomorfizmus|homomorf]] képe, ahol ''S'' a generátorhalmaz. A természetes <math>f:F(S) \to G</math> leképezés [[csoportepimorfizmus|epimorfizmus]]. Ebből következik az állítás.
* Ha ''S'' több, mint egy elemmel rendelkezik, akkor ''F(S)'' nem kommutatív, azaz nem [[ábel-csoport]].
* Két ''F(S), F(T)'' szabad csoport akkor és csak akkor [[csoportizomorfizmus|izomorf]], ha ''S'' és ''T'' számossága megegyezik. Ezt a számosságot nevezik a szabad csoport '''rang'''jának is. Így tehát minden ''k'' számossághoz, az izomorfizmus erejéig, pontosan egy szabad csoport létezik.
 
== Lásd még ==
* [[Csoport]]