„Hasonlóság (mátrixok)” változatai közötti eltérés

* [[Reflexív reláció|Reflexív]]: minden mátrix saját magához hasonló <math>A \cong A</math>. <i>BizonyítékBizonyítás</i>: <math>A = I_n^{-1} A I_n </math>, ahol <math>I_n</math> az [[egységmátrix|egységmátrixot]] jelöli.

* [[Szimmetrikus reláció|Szimmetrikus]]: ha <math>A \cong B</math>, akkor <math>B \cong A</math>. <i>BizonyítékBizonyítás</i>: <math>B = P^{-1} A P \rightarrow P B = A P \rightarrow P B P^{-1} = A </math>

* [[Tranzitív reláció|Tranzitív]]: ha <math>A \cong B</math> és <math>B \cong C</math> akkor <math>A \cong C</math>. <i>BizonyitékBizonyítás</i>: <math>B</math> kifejezhető mint <math>B = P_1^{-1} A P_1 </math> és <math>C</math> mit <math>C = P_2^{-1} B P_2 </math>. <math>C</math> újraírható mint <math> C = P_2^{-1} P_1^{-1} A P_1 P_2</math>. Bázistranszformáció mátrix ebben az esetben <math>P = P_1 P_2</math>.

* A rangok azonosak
* A [[Determináns (matematika)|determinánsok]] azonosak: <math>\det A = \det B</math>. <i>BizonyítékBizonyítás</i>:

* A [[Nyom (lineáris algebra)|nyom]]ok azonosak: <math>\mathrm{tr} A = \mathrm{tr} B</math>. <i>BizonyítékBizonyítás</i>:

* A [[Karakterisztikus polinom|karakterisztikus polinomok]] azonosak: <math>p_A(t) = p_B(t)</math>. <i>BizonyítékBizonyítás</i>:

* [[Sajátvektor és sajátérték|Sajátértékek]] és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. <i>BizonyítékBizonyítás</i>: mivel karakterisztikus polinomok azonosak, ezért a karakterisztikus egyenleteknek is azonosnak kell lennie. Ebből következtethető hogy a sajátérték is azonosak.