„Hasonlóság (mátrixok)” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
15. sor:
Ha két mátrix <math>A</math>, <math>B</math> hasonló <math>A \cong B</math>, akkor
* A [[Rang (lineáris algebra)|rangok]] azonosak: <math>\mathrm{rang} A = \mathrm{rang} B</math>. <i>Bizonyítás</i>: a kifejezés <math>B = P^{-1} A P</math> átírható mint <math>PB = AP</math>. Mivel <math>P</math> invertálható, ezért a rangja
<math>n</math>.
::<math>
\begin{align}
\mathrm{rang}(PB) &= \mathrm{rang}(AP) \\
\mathrm{rang} B &= \mathrm{rang} A
\end{align}
</math>
* A [[Determináns (matematika)|determinánsok]] azonosak: <math>\det A = \det B</math>. <i>Bizonyítás</i>:
::<math>\begin{align}
\det B & = \det(P^{-1}A P) \\
& = \det P^{-1} \det A \det P = (\det P)^{-1} \det A \det P \\
24 ⟶ 31 sor:
</math>
* A [[Nyom (lineáris algebra)|nyom]]ok azonosak: <math>\mathrm{tr} A = \mathrm{tr} B</math>. <i>Bizonyítás</i>:
::<math>
\begin{align}
\mathrm{tr} B &= \mathrm{tr}(P^{-1} A P) \\
32 ⟶ 39 sor:
</math>
* A [[Karakterisztikus polinom|karakterisztikus polinomok]] azonosak: <math>p_A(t) = p_B(t)</math>. <i>Bizonyítás</i>:
::<math>
\begin{align}
p_B(t) & = \det(t I_n - B) \\
| |||