„Hasonlóság (mátrixok)” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Példa hozzáadása |
|||
50. sor:
* [[Sajátvektor és sajátérték|Sajátértékek]] és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. <i>Bizonyítás</i>: mivel karakterisztikus polinomok azonosak, ezért a karakterisztikus egyenleteknek is azonosnak kell lenniük. Ebből következtethető, hogy a sajátértékek is azonosak.
* [[Jordan-féle normálforma|Jordan-féle normálformák]] azonosak.
== Példa ==
A két <math>2 \times 2 </math> mátrix <math>A = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 4\end{bmatrix}</math> és <math>B = \begin{bmatrix}3 & 4 \\ \frac{1}{4} & 3 \end{bmatrix}</math> hasonlóak. A bázistranszformáció mátrix ebben az esetben <math>P = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}</math>.
<math>
\begin{align}
B &= P^{-1} A P = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ - \frac{1}{12} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ \frac{1}{4} & 4 \end{bmatrix}
\end{align}
</math>
* Rang
** <math>\mathrm{rang} A = 2 </math>
** <math>\mathrm{rang} B = 2 </math>
* Determináns
** <math>\det A = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 0 = 8 </math>
** <math>\det B = 3 \cdot 3 - 4 \cdot \frac{1}{4} = 8 </math>
* Nyom
** <math>\mathrm{tr} A = 2 + 4 = 6 </math>
** <math>\mathrm{tr} B = 3 + 3 = 6 </math>
* Karakterisztikus polinom
** <math>p_A(t) = (2 - t)(4 - t) - 3 \cdot 0 = t^2 -6t + 8</math>
** <math>p_B(t) = (3 - t)(3 - t) - 4 \cdot \frac{1}{4} = t^2 -6t + 8</math>
| |||