„Muirhead-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
Bármely [[valós számok|valós]] [[vektor]] esetén
 
:<math>a=\left(a_1,\dots,a_n \right)</math>
 
az ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>n</sub> számok "''a''-közepe" [''a''] a következő:
 
:<math>a_1+\cdots +a_n=b_1+\cdots+b_n.</math>
 
==A [[számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség]] származtatása==
Legyen a két vektor, ''a'' és ''b'', a következő:
 
:<math>a=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\dots ,\frac{1}{n}\right)</math>
 
:<math>b=\left(1,0,0,\dots ,0\right).</math>
 
A fenti két [[vektor]]ra teljesül a Muirhead-egyenlőtlenség, tehát bármilyen nemnegatív szám n-nesre igaz, hogy [''a'']&le;[''b''], hiszen
 
:<math>a_1 \le b_1</math>
 
:<math>a_1+a_2 \le b_1+b_2</math>
 
:<math>\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots</math>
 
:<math>a_1+a_2+\dots +a_{n-1}\le b_1+b_2+\dots +b_{n-1}</math>
 
:<math>a_1+a_2+\dots +a_n=b_1+b_2+\dots +b_n.</math>
 
Ekkor tetszőleges ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>n</sub> nemnegatív számok esetén
 
:<math>[a]=\frac{1}{n!} \sum_\pi x^{\frac{1}{n}}_{\pi_1}\cdots x^{\frac{1}{n}}_{\pi_n}=\sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n}</math>
 
és
 
:<math>[b]=\frac{1}{n!} \sum_\pi x^{1}_{\pi_1}x^{0}_{\pi_2}\cdots x^{0}_{\pi_n}=\frac{1}{n} \left(x_1+x_2+\dots +x_n\right),</math>
 
hiszen minden ''x''<sub>''i''</sub>-t összeadunk (''n''-1)!-szor, majd elosztunk ''n''!-ral, így minden számot <math>\frac{1}{n}</math>-szer adunk az összeghez. Ezekből következik, hogy
 
:<math>\sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n}\le \frac{1}{n} \left(x_1+x_2+\dots +x_n\right).</math>
 
==Külső hivatkozások==
 
 
*''Combinatorial Theory'' by John N. Guidi, based on lectures given by [[Gian-Carlo Rota]] in 1998, MIT Copy Technology Center, 2002.
*Kiran Kedlaya's guide to solving inequalities at [http://www.unl.edu/amc/a-activities/a4-for-students/problemtext/ineqs-080299.ps].
*[http://mcraefamily.com/MathHelp/BasicNumberIneqMuirheadsInequality.htm Simple explanation with examples]
*[http://planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html Reference on PlanetMath (Muirhead's theorem)]
 
 
[[Kategória:Egyenlőtlenségek]]
52

szerkesztés