„Izogonális pont” változatai közötti eltérés

1 159 bájt hozzáadva ,  13 évvel ezelőtt
bizonyítás hozzáadása
a (Robot: következő hozzáadása: it:Punto di Fermat)
(bizonyítás hozzáadása)
[[Image:Fermat_Point.svg|thumb|right|300px200px|Az izogonális pont megszerkesztése.]]
Az '''izogonális pont''', '''Fermat-pont''' vagy '''Torricelli-pont''' a [[geometria|geometriában]] a az a pont, amit egy [[háromszög]] csúcsaival összekötve az összekötő szakaszok együttes hossza minimális. [[Fermat]] fedezte fel, aki feladványul adta [[Evangelista Torricelli]]nek a pont megszerkesztését.
 
==Az izogonális pont megyszerkesztése==
Ha a háromszögnek nincs 120°-nál nagyobb szöge, az izogonális pont egyben az a pont, amiből a háromszög mindhárom oldala azonos szög alatt látszik. (Ha van, a hozzá tartozó csúcs lesz az izogonális pont.) Megszerkesztéséhez egy-egy szabályos háromszöget kell emelni a háromszög oldalaira, és az újonnan kapott csúcsokat összekötni az eredeti háromszög szemközti csúcsaival. A három egyenes az izogonális pontban metszi egymást. (Ugyanebben a pontban metszik egymást a szabályos háromszögek köréírt körei is; Torricelli ezt használta fel a megoldásához.)
 
Ha a háromszögnek nincs 120°-nál nagyobb szöge, az izogonális pont egyben az a pont, amiből a [[háromszög]] mindhárom oldala azonos szög alatt látszik. (Ha van, a hozzá tartozó csúcs lesz az izogonális pont.) Megszerkesztéséhez egy-egy szabályos háromszöget kell emelni a [[háromszög]] oldalaira, és az újonnan kapott csúcsokat összekötni az eredeti [[háromszög]] szemközti csúcsaival. A három egyenes az izogonális pontban metszi egymást. (Ugyanebben a pontban metszik egymást a szabályos háromszögek[[háromszög]]ek köréírt körei is; Torricelli ezt használta fel a megoldásához.)
 
==Szerkesztés bizonyítása==
 
[[Image:Izogonális_pont.PNG|thumb|left|300px|Egy lehetséges bizonyítás az izogonális pont megtalálására.]]
 
A bizonyítás megmutatja, hogy a három egyenes egy ponton halad át.
 
Legyen F az RC és BQ egyenesek metszéspontja. Azt akarjuk megmutatni, hogy az AFP [[Görbe_(matematika)|görbe]] egyenes.
 
Mivel AR=AB és AC=AQ,
:<math>\angle RAC=\angle RAB+\angle BAC</math>
:<math>\angle BAQ=\angle BAC+\angle CAQ</math>.
Továbbá, mivel <math>\angle RAB</math> és <math>\angle CAQ=60</math>º, amik belső szögei a szabályos [[háromszög]]eknek, <math>\angle RAC=\angle BAQ</math>. Ebből következik, hogy RAC és BAQ [[háromszög]]ek egybevágóak. Vagyis <math>\angle ARF=\angle ABF</math> és <math>\angle AQF=\angle ACF</math>. Tehát ARBF és AQCF [[húrnégyszög]]. Mivel [[húrnégyszög]]ek, <math>\angle AFB=\angle AFC=\angle BFC=120</math>º. BFCP szintén [[húrnégyszög]], hiszen <math>\angle BFC+\angle BPC=180</math>º. Ennélfogva <math>\angle BFP=\angle BCP=60</math>º. Tehát <math>\angle AFP=\angle AFB+\angle BFP=180</math>º.
 
{{csonk-dátum|csonk-mat|2007 májusából}}
52

szerkesztés