„Gömbkoordináták” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
=J^{-1}\cdot\begin{pmatrix}\mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{pmatrix} </math>.
 
A <math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z</math> [[térfogatelem]] egyszerűen számítható a
:<math>\det J=r^2\sin\theta</math>
funkcionáldeterminánssal, azaz:
:<math>\, \mathrm{d}V=r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}r </math>.
 
A <math>\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}</math> differenciállal kapjuk egy <math>r</math> sugarú gömbön a <math>\mathrm{d}A</math> felszínelemet[[felszínelem]]et:
:<math>\mathrm{d}A=r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta </math>.
 
A <math>ds</math> [[vonalelem]] számítható, mint:
:<math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2
=\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\theta^2 +
r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\varphi^2</math>
===Metrika és forgatómátrix===
A <math>ds</math> vonalelem vegyes tagjainak hiánya visszatükrözi, hogy a [[metrikus tenzor]]nak sincsenek koordinátái a főátlón kívül:
:<math>g=J^T J=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&r^2&0\\ 0&0&r^2\sin^2\theta\end{pmatrix}</math>
A metrikus tenzor nyilván a
:<math>h=\operatorname{diag}(1,r,r\sin\theta)</math>
[[diagonális mátrix]] négyzete. Ennek segítségével a Jacobi-mátrix írható úgy, mint <math>J=Sh</math>, ahol <math>S</math> az
:<math>
S =\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi&\cos\theta\cos\varphi&-\sin\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi&\cos\theta\sin\varphi&\cos\varphi\\
\cos\theta&-\sin\theta&0
\end{pmatrix}
</math>
[[forgatómátrix]].
 
==Jegyzetek==