„Gömbkoordináták” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
\end{matrix} \right)
</math>
 
Determinánsa:
:<math>\det J_{(n)} = r^{n-1}\sin(\phi_1)^{n-2}\sin(\phi_2)^{n-3}\cdots \sin(\phi_{n-2}) = \displaystyle r^{n-1} \cdot \prod_{k=2}^{n-1} \left(\sin(\phi_{n-k})\right)^{k-1} \quad n \ge 2 </math>
A determináns normája fölötti integrál kifejezhető a <math>\Gamma</math>-függvény segítségével:
:<math>\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \dots \int_{0}^{\pi} | \det J_{(n)}|\, \text{d}\phi_{1} \dots \text{d}\phi_{n-2} \text{d}\phi_{n-1} \text{d}r = \frac{2\pi R^n}{n}\cdot \prod_{k=2}^{n-1} \int_{0}^{\pi} (\sin(\phi_{n-k}))^{k-1}\text{d}\phi_{n-k} = \frac{2 \pi R^n}{n}\cdot \prod_{k=2}^{n-1} \frac{\sqrt{\pi} \; \Gamma\left(\frac{k}{2} \right)}{\Gamma\left(\frac{k+1}{2} \right)} = \frac{\sqrt{\pi}^n R^n}{\Gamma\left( \frac{n}{2}+1 \right)} \quad n\ge 2 </math>
ami megfelel az <math>n</math>-dimenziós hipergömb térfogatának:
:<math>V_n(R) = \frac{\sqrt{\pi}^n R^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2} +1 \right)}</math>
 
==Jegyzetek==