„Gömb” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a →Gömbi geometria: pi->\pi |
→Felszín és térfogat: Kiegészítések |
||
64. sor:
== Felszín és térfogat ==
[[Fájl:Einstein gyro gravity probe b.jpg|thumb|350px|right|Az ember által alkotott legtökéletesebb gömb, amint visszatükrözi [[Albert Einstein|Einstein]] képét. A gömb nem több, mint 40 atommal tér el a szabályostól. Úgy gondolják, hogy csak a [[neutroncsillag]]ok simábbak]]▼
A gömb [[felszín]]e:
:<math>A = 4 \pi r^2 \,</math>,▼
▲:<math>A = 4 \pi r^2 \,</math>
a [[térfogat]]a pedig:
:<math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math>.▼
Ezeket többféleképpen, integrálszámítással, közelítő poliéderekkel vagy a [[Cavalieri-elv]] segítségével lehet belátni.
A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül. Másként fogalmazva, rögzített felület esetén a gömb rendelkezik a testek közül a legnagyobb térfogattal ([[izoperimetrikus egyenlőtlenség]]). Ennek folyománya, hogy a szabad folyadékfelszínek a gömbhöz minél inkább közeli alakzatokat igyekszenek felvenni.▼
▲:<math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math>
Egy adott gömb körülírt [[henger]]ének térfogata éppen másfélszerese a gömb térfogatának, és a felszíne is másfélszerese a gömb felszínének. Ezt már [[Arkhimédész]] is tudta. Ennek belátásához írjuk fel a henger térfogatát és felszínét is:▼
▲A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül. Másként fogalmazva, rögzített felület esetén a gömb rendelkezik a testek közül a legnagyobb térfogattal ([[izoperimetrikus egyenlőtlenség]]).
:<math>\begin{align}
A&=2\pi r^2+2\pi r\cdot 2r=6\pi r^2\\
▲Egy adott gömb körülírt [[henger]]ének térfogata éppen másfélszerese a gömb térfogatának, és a felszíne is másfélszerese a gömb felszínének. Ezt már [[Arkhimédész]] is tudta.
V&=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3
\end{align}</math>.
▲[[Fájl:Einstein gyro gravity probe b.jpg|thumb|350px|right|Az ember által alkotott legtökéletesebb gömb, amint visszatükrözi [[Albert Einstein|Einstein]] képét. A gömb nem több, mint 40 atommal tér el a szabályostól. Úgy gondolják, hogy csak a [[neutroncsillag]]ok simábbak]]
Elvégezve az osztásokat kapjuk az eredményt.{{jegyzet*|megj=Ezekre az eredményekre Arkhimédész, mivel a képleteket nem ismerte, közelítő eljárásokkal, többek között az általa felfedezett kimerítéses módszerrrel jött rá.}}
== Gömbi geometria ==
| |||