Inflexiós pont

Az inflexiós pont (vagy hajlási pont) a függvénytanban, függvények analízisénél használt kifejezés, azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe előjelet vált. A görbe alakja az inflexiós pontban változik konkávból konvexbe, vagy fordítva. A gyakorlati életben ha az ember egy járművel hajtana végig a görbén, akkor egy pillatig egyenes lenne a kormány, miközben a jármű jobbról balra, vagy balról jobbra fordul.

Az y = x³ függvény, inflexciós pontja a (0,0)-ban van. Az x = 0 pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az f'(x) > 0 minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő

Az alábbi definíciók ekvivalensek:

• Az inflexiós pont (x, y), a függvény első deriváltjának görbéjén egy szélsőértékhely: minimum vagy maximum (lehet csak helyi szélsőérték is)
• Az inflexiós pont az a pont a görbén, amelyben a második derivált előjelet vált (azaz az inflexiós pontban a függvényérték nulla). (ebben hasonlít ez a definíció az előbbihez, mivel ebben a pontban maga a görbe is előjelet vált, ugyanis a második derivált és a görbe előjele megegyezik - azonban fontos megjegyezni, hogy maguk a görbék nem egyeznek meg!)
• A függvénygörbének az a pontja, amelybe ha érintőt húzunk, akkor az érintő egyenese átmetszi a függvényt az inflexiós pontban.

Az y = x³ függvény, és a (0,0) inflexiós pontba húzott érintő.

Amennyiben a függvény első deriváltja egy adott pontban szélsőértéket vesz fel, akkor abból következik, hogy abban a pontban a második derivált értéke nulla: f''(x) = 0, de az első feltétel önmagában még nem elegendő az inflexiós pont meglétéhez. Általánosan ennek megállapításához mindig szükség van a legutolsó még nem nulla deriváltfüggvény megvizsgálására.