„Inflexiós pont” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
hivatkozás javítása |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
[[Image:x cubed plot.svg|thumb|150px|Az y = x<sup>3</sup> függvény, inflexciós pontja a (0,0)-ban van. Az x = 0 pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az ''f'(x) > 0 '' minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő ]]
Az '''inflexiós pont''' (vagy hajlási pont) a [[függvény]]tanban, függvények analízisénél használt kifejezés, azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe
[[Image:Inflection point.png|thumb|150px|Az x^3 + 2x^2 függvény inflexiós pontja, és az inflexiós pontban a függvényhez húzott érintő.]]Az alábbi definíciók ekvivalensek:
*
*Az inflexiós pont az a pont a görbén, amelyben a [[második derivált]] előjelet vált (azaz az inflexiós pontban a függvényérték nulla
*A függvénygörbének az a pontja, amelybe ha [[érintő]]t húzunk, akkor az érintő egyenese átmetszi a függvényt az inflexiós pontban. Ezt könnyű belátni, ugyanis a konvex és konkáv része a grafikonnak csak az érintő különböző oldalán lehet.
==Feltételek az inflexiós pont létezéséhez==
===Szükséges feltételek===
*''f'' legyen az ''x<sub>0</sub>'' pont egy környezetében kétszer differenciálható
*''x<sub>0</sub>'' az inflexiós pont, <br> ekkor:
<math>f''(x_W)=0 \,</math>
===Elégséges feltételek===
*''f'' függvény második deriváltja előjelet vált ''x<sub>0</sub>'' pontban. Ha <math>f\,''(x)</math> pozitívból negatívba vált az inflexiós pontban, akkor <math>f\,(x)</math> konvexből konkávba vált, ha <math>f\,''(x)</math> negatívból pozitívba vált, akkor pedig <math>f\,(x)</math> konkávból konvexbe megy át.
*Legyen az ''f'' függvény ''x<sub>0</sub>'' pont egy környezetében háromszor differenciálható. Ekkor ha <math>f\,''(x_0)=0</math> és <math>f'''(x_0) \neq 0</math>, akkor <math>x_0</math> inflexiós pont.
Az inflexiós pont egy speciális, magasabb dimenziókban előforduló fajtája a [[nyeregpont]].
Amennyiben a függvény első deriváltja egy adott pontban szélsőértéket vesz fel, akkor abból következik, hogy abban a pontban a második derivált értéke nulla: ''f''''(''x'') = 0, de az első feltétel önmagában még nem elegendő az inflexiós pont meglétéhez. Általánosan ennek megállapításához mindig szükség van a legutolsó még nem nulla deriváltfüggvény megvizsgálására.
==Példa==
:<math> { f(x) } = { 1 \over 3 } \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x </math>
A függvény második deriváltja:
:<math> {f''(x)} = {2 \cdot x - 4} </math>
Ekkor teljesülnie kell, hogy:
:<math> {f''(x)} = 0 = {2 \cdot x - 4} </math>
Az eredmény ''x''=2.
Egyúttal
:<math> {f'''(x)} = 2 \,</math>
ami nem 0, azaz a függvénynek itt inflexiós pontja van.
==Különleges esetek==
1. <math> { f(x) } = (x-2)\cdot e^{|x|} </math><br>
Ennek a függvénynek a grafikonja görbületet vált az ''x = 0 '' pontban konvexből konkávba. Ennek ellenére ez nem inflexiós pont, mivel itt az első derivált nem létezik, tehát szélsőértéke sem lehet.
2. <math> { f(x) } = x \cdot|x| </math><br>
Ennek a függvénynek az ''x = 0'' pontban inflexiós pontja van, bár a nem létezik az <math> {f''(0)} \,</math>. Ennek ellenére az első deriváltnak, <math> {f'} \,</math>-nek ''x = 0''-ban minimuma van.
[[en:Inflexion point]]
| |||