„Σ-algebra” változatai közötti eltérés

310 bájt törölve ,  12 évvel ezelőtt
a
kozmetikai javítások
a (Robot: következő hozzáadása: ro:Sigma-algebră)
a (kozmetikai javítások)
 
== Formális definíció ==
 
=== Axiómák ===
 
Legyen &Omega;Ω tetszőleges halmaz, ''P''(&Omega;Ω) az &Omega;Ω [[részhalmaz]]aiból álló [[hatványhalmaz]], és legyen <big>''A''</big>⊆''P''(&Omega;Ω) az &Omega;Ω egy részhalmazai halmaza.
 
Az <big>''A''</big> halmazt az &Omega;Ω halmaz feletti '''&sigma;σ-algebrá'''nak nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:
 
{| align=center border=0 width=95% cellpadding=3
|| 1. || <big>''A''</big> nem [[Üres halmaz|üres]], || &nbsp; &nbsp; &nbsp; azaz &nbsp; || <big>''A''</big>≠∅
|-
|| 2. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely eleme <br>(&Omega;Ω-ra vonatkozó) [[komplementer]]ét, <br> vagyis zárt a komplementer- <br>képzés műveletére; || &nbsp;&nbsp;&nbsp; azaz &nbsp; || A∈<big>''A''</big> ⇒ <font style="text-decoration: overline;">A</font>∈<big>''A''</big>
|-
|| 3. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely legfeljebb <br> megszámlálható&nbsp;[[halmazrendszer|halmazcsaládja]]&nbsp;[[unió]]ját, <br> vagyis zárt a <br> megszámlálható unióképzésre.|| &nbsp;&nbsp;&nbsp; azaz &nbsp; || <math>(q_{i})_{i \in \mathbb{N}} \in \ ^{\mathbb{N}} \mathcal{P}(\mathcal{A}) \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N}} q_{i} </math>
|}
 
Az utolsó axiómában <sup>'''N'''</sup>''P''(<big>''A''</big>) értelemszerűen az <big>''A''</big> elemeiből alkotott megszámlálhatóan végtelen mérhetőhalmaz-[[sorozat]]ok halmazát jelöli, (''q''<sub>i</sub>)<sub>i&isin;i∈'''N'''</sub> egy ide eső sorozatot; és szokásosabb jelölésmóddal arról van szó, hogy ha A<sub>0</sub>, A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ..., A<sub>n</sub>, ... egy ilyen sorozat, akkor <math>\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{A}</math> kell hogy teljesüljön. Éppen innen ered a fogalom elnevezése is, mivel az <math>\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i}</math>-t régies jelöléssel <math>\sum_{i=0}^{\infty} A_{i}</math>-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok szigma jellel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden '''&sigma;σ-zártság'''nak szokás nevezni.
 
Amint a [[Halmazalgebra#Definíciók|halmazalgebra]] cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "<big>''A''</big> tartalmazza az üres halmazt", akár az "<big>''A''</big> tartalmazza az univerzális halmazt (&Omega;Ω-t, avagy a [[biztos esemény]]t)" tulajdonsággal, azaz az
<center>∅∈<big>''A''</big></center>
<u>vagy</u> akár az
<center>&Omega;∈Ω∈<big>''A''</big></center>
axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "<big>''A''</big> zárt a [[különbség]]képzésre"
<center>(A,B∈<big>''A''</big> ⇒ A\B∈<big>''A''</big>)</center> axiómával is.
A fogalom analogonja megfogalmazható az &Omega;Ω feletti [[halmazrendszer]]ek esetére is.
 
=== Mérhető tér ===
 
Az (&Omega;Ω, <big>''A''</big>) [[rendezett pár]]-t '''mérhető tér'''-nek nevezzük, <big>''A''</big> elemeit pedig '''mérhető halmaz'''oknak.
 
=== Összefüggés más struktúratípusokkal ===
 
A szigma-algebrához legközelebbi struktúrafajta a [[&lambda;-rendszer]] fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigma-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha &lambda;λ-rendszer és &pi;π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben <ref> Ambar N. Sengupta: ''[http://www.math.lsu.edu/~sengupta/7312s02/sigmaalg.pdf Sigma Algebras]'' ([[pdf]]-jegyzet, v. 2007. 08. 05. 23:51.).</ref>.
 
Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy <big>''A''</big> véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az [[halmaztest|egyszerű halmaztest]] fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a [[topologikus tér]] fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény <ref>Pl. az &Psi;Ψ = {1,2} halmazon az <big>''A''</big> = {∅, {1}, {1,2}} halmaz egy [[topologikus tér|topológiát]] alkot, zárt az uniójra és a metszetképzésre, de nem alkot &sigma;σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja <big>''A''</big>-nak.</ref>
 
Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett [[rendezett pár]], a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az &Omega;Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy &sigma;σ-algebra az &Omega;Ω részhalmazainak egy megfelelő <big>''A''</big> halmaza. Magát az (&Omega;Ω, <big>''A''</big>) párt '''mérhető tér'''nek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns<!--ezért vettem egy cikkbe-->).
 
== Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok ==
 
=== Halmazalgebra ===
Tetszőleges &sigma;σ-algebra egyben [[halmazalgebra]] is, tehát zárt a véges metszetképzésre, illetve az összes tag uniója megegyezik az &Omega;Ω tartóhalmazzal ([[halmazalgebra#Metszetképzésre való zártság|l.o.]]).
 
=== Megszámlálható metszetképzésre való zártság ===
=== Leszűkítés ===
 
Legyen &Omega;Ω tetszőleges halmaz, &Lambda;⊆&Omega;Λ⊆Ω és <big>''A''</big> szigma-algebra az &Omega;Ω felett. Legyen továbbá <big>''A''</big><sub>|&Lambda;Λ</sub> := <big>{</big>'''X'''∩&Lambda;∩Λ | '''X'''∈<big>''A''</big><big>}</big>. Ekkor (&Lambda;Λ, <big>''A''</big><sub>|&Lambda;Λ</sub>) mérhető tér az &Omega;Ω felett, amit az (&Omega;Ω <big>''A''</big>) tér &Lambda;Λ-ra vonatkozó '''leszűkítés'''ének nevezünk és (&Omega;Ω <big>''A''</big>)<sub>|&Lambda;Λ</sub> jelöl.
 
=== Generált algebra ===
Igen fontos eszköz a szigma-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:
 
'''Tétel''': Legyen &Omega;Ω tetszőleges halmaz, és <big>''G''</big>⊆''P''(&Omega;Ω) az &Omega;Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan &Omega;Ω feletti &sigma;σ(<big>''G''</big>) szigma-algebra, amelynek <big>''A''</big> minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb ([[legkisebb elem|legkisebb]]) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó szigma-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).
 
=== Szorzattér ===
 
Ha (&Phi;Φ, <big>''X''</big>) és (&Psi;Ψ, <big>''Y''</big>) két [[#Mérhető tér|mérhető tér]], akkor a <big>(</big>&Phi;×&Psi;Φ×Ψ, &sigma;σ(<big>''X''</big>×<big>''Y''</big><big>)</big><big>)</big> is mérhető tér. Ezt a két mérhető étr által generált '''szorzattér'''nek vagy szorzat-&sigma;σ-algebrának mondjuk.
 
== Példák ==
 
# Tetszőleges nemüres &Omega;Ω halmaz felett &sigma;σ-algebrát alkot a csak az üres és az univerzális halmazból álló kételemű {∅, &Omega;Ω} halmaz, ez az &Omega;Ω feletti '''triviális &sigma;σ-algebra'''.
# Tetszőleges nemüres &Omega;Ω halmaz esetén a teljes &Omega;⊆Ω⊆''P''(&Omega;Ω) halmaz is halmazalgebra, az &Omega;Ω feletti '''teljes &sigma;σ-algebra'''.
 
# Tetszőleges véges &Omega;Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig szigma-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti szigma-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így pl. az &Omega;Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, &Omega;Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az &Omega;Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges &Omega;Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még [[atomhalmaz]].
# Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a [[generált &sigma;-algebra]] c. fejezetben.
 
247 461

szerkesztés