„Differenciál” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Cherybot (vitalap | szerkesztései)
a Robot: Kiskötőjel cseréje gondolatjelre
SamatBot (vitalap | szerkesztései)
a kozmetikai javítások
6. sor:
 
Legyen ''f'' a valós számok egy részhalmazán értelmezett függvény, ''a'' az ''f'' értelmezési tartományának egy [[belső pont]]ja. Ekkor az ''f'' függvény ''a''-beli [[differenciálhatóság#Ekvivalens átfogalmazások|differenciálhatóságával]] egyenértékű a következőkkel:
# létezik olyan ''εε'' (az ''f'' értelmezési tartományán értelmezett) függvény, mely eltűnik ''a''-ban (azaz ott folytonos és értéke 0), továbbá
# van olyan ''A'' valós szám, hogy minden ''x''-re az ''f'' értelmezési tartományából:
::<math>f(x)=f(a)+A\!\cdot\!(x-a)+\varepsilon(x)\!\cdot\!(x-a)</math>
Az iménti képletben az ''&epsilon;ε''(''x'')<math>\cdot</math>(x-a) úgy nevezett másodrendűen kicsiny mennyiség ''a'' körül, azaz legalább az (x-a)<sup>2</sup> hatvánnyal osztva adhat csak 0-tól különböző határértéket. Ez azt jelenti, hogy az ''f'' függvényt felbontottuk egy ''lineáris'' részre:
:<math>f(a)+A\cdot(x-a)\,</math>
és egy ''nemlineáris'' maradék részre:
:<math>\varepsilon(x)\!\cdot\!(x-a)</math>
Ha az ''f'' fenti alakját deriváljuk (az egyenlőségből látható, hogy ''&epsilon;ε'' is differenciálható), akkor kapjuk, hogy:
:<math>f'(x)=A+\varepsilon'(x)\!\cdot\!(x-a)+\varepsilon(x)</math>
vagyis az ''x'' = ''a'' esetben ''f'' '(''a'') = ''A''. Az ''A'' szám tehát a [[derivált]], az ''x'' – ''a'' = ''h'' helyettesítéssel nyert
26. sor:
szimbolizálja. ''f''-re tehát fennáll:
:<math>f(x)=f(a)+df(a)+\varepsilon\cdot dx</math>
ahol mind d''f''(a), mind ''&epsilon;ε'' függ ''x''-től, bár ezt nem mindig szokás kiírni. Fontos tudnunk, hogy mind ''df(a)'', mind ''dx'' valódi, véges mennyiség szemben a [[nemsztenderd analízis]] használta differenciállal, mely végtelen kicsi.
Gyakran a differenciál jelöléséből az ''a''-ra utaló jeleket elhagyják. ''x''-re mint középpontra és dx-re mint eltérésre felírva a függvény megváltozását:
35. sor:
 
== A differenciál geometriai jelentése ==
[[Kép: differenciál1.png|right|thumb|400px]]
Rajzoljuk be a függvénygörbe egy P pontjához az érintőt (PS szakasz), tetszőleges ''dx'' távolsággal eltávolodva ''x''-től a függvény f(x+dx) értéket vesz fel, míg az azt közelítő lineáris f(x)+dy értéket (S pont). A ''dx''<math>\to</math>0 határértékben az f(x+dx)-f(x) különbség egyenlővé válik ''dy''-nal, vagyis a lineáris közelítés annál jobb, minél kisebb ''dx''-et választunk. Az ábrán a differenciált ábrázoló PRS háromszöget ''Leibniz-féle háromszög''nek nevezzük.
 
== Magasabbrendű differenciálok ==
 
=== Másodrendű differenciál ===
 
Ha feltesszük, hogy ''f'' az ''a'' pontban kétszer differenciálható, akkor az ''x'' <math>\mapsto</math> ''&epsilon;ε(x)'' függvény is kétszer differenciálható lesz. Tekinthetjük tehát az ''f ' '' függvény differenciálját, melyet a következő egyenlet definiál:
:<math>f'(x)=f'(a)+f''(a)\cdot(x-a)+ \delta(x)\cdot(x-a)</math>
ahol az utolsó tag másodrendűen kicsi ''a'' közelében. Ekkor a '''másodrendű''', vagy második '''differenciál''':
48 ⟶ 47 sor:
Természetesen ekkor a szokásos ''dx = x – a'' jelöléssel érvényben van a következő összefüggés:
:<math>\frac{d^2f(a)}{dx^2}=f''(a)</math>
A másodrendű differenciált is figyelembevéve f-re egy másodfokú közelítést adhatunk. Ha &epsilon;ε-t is "lineáris + nemlineáris" alakban írjuk fel, akkor ''f(x)'' alkalmas ''B'' számmal és ''a''-ban nullához tartó ''x''<math>\mapsto</math>''&eta;η(x)'' függvénnyel a következő alakban fejezhető ki:
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot\!(x-a)+(B\!\cdot\!(x-a)+\eta(x)\!\cdot\!(x-a))\!\cdot\!(x-a)</math>
azaz
56 ⟶ 55 sor:
Vagyis a függvény megváltozása:
:<math>\Delta f=f(x)-f(a)=df(a)+\frac{1}{2}d^2f(a)+ \xi(x)\cdot(x-a)^2</math>
ahol ''&xi;ξ(x)'' nullához tart, ha ''x'' tart ''a''-hoz.
 
=== Magasabbrendű differenciálok ===
76 ⟶ 75 sor:
== Többváltozós függvény differenciálja ==
{{fő|teljes differenciál}}
 
[[Kategória:Differenciálszámítás]]