„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés

 

A [[matematikai analízis]] '''Fermat tétele''' szükséges feltételt szab egy [[differenciálhatóság|differenciálható]] függvény lokális szélsőértékének létezéséhez. A tétel szerint egyváltozós, differenciálható függvény lokális maximumának vagy minimumának helyét, az értelmezési tartománya belső pontjában csak ott találhatjuk, ahol a függvény [[derivált]]ja nulla.

 

==Motiváció==

Legyen ''f'' valós-valós függvény, ''u'' az értelmezési tartománya belső pontja. Ha ''u''-ban ''f''-nek lokális maximuma vagy lokális minimuma van, akkor ott deriváltja nulla:

:<math>f'(u)=0\,</math>

 

==Bizonyítás==

===A derivált definíciójából===

Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Legyen V olyan nyílt környezete ''u''-nak, ahol ''f'' értékei nem kisebbek mint ''f(u)'' (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül:

tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt:

:<math>f'(u)=\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math>

:<math>f'(u)=0\,</math>. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big></big></big>

 

''Megjegyzés.'' A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha ''u'' nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind baloldali, mind jobboldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint ''u''-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!).

A határértékre vonatkozó átviteli elvet általában akkor célszerű használni, ha tudjuk, hogy egy adott határérték létezik, csak meg kell állapítanunk az értékét. A mostani pont ez a szituáció.

 

:<math>x_n:=(-1)^n\frac{\delta}{n}</math>

Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk:

Kétváltozós, valós értékű differenciálható függvény esetén a Fermat-tétel szemléletes jelentése, hogy a szélsőértékekhez rajzolt érintősík „vízszintes”.

 

:<math>\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0</math> és <math>\frac{\partial f(u)}{\partial y}=0</math>

(mindez a szükséges változtatásokkal '''R'''^m-ben is igaz).