„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés

a
kozmetikai javítások
a (Robot: következő hozzáadása: ca:Teorema de Fermat (punts estacionaris))
a (kozmetikai javítások)
 
A [[matematikai analízis]] '''Fermat tétele''' szükséges feltételt szab egy [[differenciálhatóság|differenciálható]] függvény lokális szélsőértékének létezéséhez. A tétel szerint egyváltozós, differenciálható függvény lokális maximumának vagy minimumának helyét, az értelmezési tartománya belső pontjában csak ott találhatjuk, ahol a függvény [[derivált]]ja nulla.
 
 
==Motiváció==
Legyen ''f'' valós-valós függvény, ''u'' az értelmezési tartománya belső pontja. Ha ''u''-ban ''f''-nek lokális maximuma vagy lokális minimuma van, akkor ott deriváltja nulla:
:<math>f'(u)=0\,</math>
 
 
==Bizonyítás==
 
===A derivált definíciójából===
Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Legyen V olyan nyílt környezete ''u''-nak, ahol ''f'' értékei nem kisebbek mint ''f(u)'' (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül:
tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt:
:<math>f'(u)=\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math>
f'(u) &#8805; 0 és f'(u) &#8804; 0 miatt pedig:
:<math>f'(u)=0\,</math>. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big></big></big>
 
 
 
''Megjegyzés.'' A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha ''u'' nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind baloldali, mind jobboldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint ''u''-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!).
A határértékre vonatkozó átviteli elvet általában akkor célszerű használni, ha tudjuk, hogy egy adott határérték létezik, csak meg kell állapítanunk az értékét. A mostani pont ez a szituáció.
 
Legyen B(u,&delta;δ) olyan környezete u-nak, mely teljes egészében az értelmezési tartományban van és melyre leszűkítve f-et u-ban minimuma van. Legyen
:<math>x_n:=(-1)^n\frac{\delta}{n}</math>
Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk:
Kétváltozós, valós értékű differenciálható függvény esetén a Fermat-tétel szemléletes jelentése, hogy a szélsőértékekhez rajzolt érintősík „vízszintes”.
 
Ha f valós értékű, az U &#8838; '''R'''<sup>2</sup> nyílt halmazon értelmezett [[teljes differenciál|differenciálható]] függvény, és az ''U'' halmaz egy ''u'' pontjában minimuma vagy maximuma van, akkor df(u)=0 illetve a [[parciális derivált]]akra:
:<math>\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0</math> és <math>\frac{\partial f(u)}{\partial y}=0</math>
(mindez a szükséges változtatásokkal '''R'''<sup>m</sup>-ben is igaz).
247 461

szerkesztés