„Teljes differenciál” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
5. sor:
== Fréchet-féle differenciálhatóság ==
'''Definíció''' - Azt mondjuk, hogy az f : '''R'''<sup>m<sup><math>\mapsto</math>'''R'''<sup>n<sup> függvény{{hiv|érttart}} '''differenciálható''' (vagy ''totálisan differenciálható'', vagy ''Fréchet-féle értelemben differenciálható'') az értelmezési tartományának egy ''a'' belső pontjában, ha van olyan '''A''' : '''R'''<sup>m<sup><math>\rightarrow</math>'''R'''<sup>n<sup> lineáris leképezés, mellyel létezik
:<math>\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)-\mathbf{A}(x-a)}{||x-a||_2}\;\;\;\;\;.</math> {{hiv|||_2}}
52. sor:
<math>\mapsto</math>'''R'''<sup>3<sup> típusú függvények esetén a [[vektoranalízis]] ismer egy összefüggést a skaláris szorzás deriválására, ám ez feltételezi olyan [[differenciáloperátor]]ok ismeretét, mint a [[gradiens]], a [[rotáció]] és a "v grad". Ekkor az '''u''' és '''v''' függvények skaláris szorzatának deriváltja (mely ebben az esetben a grad('''u'''<math>\cdot</math>'''v''') kifejezés):
:<math>grad(\mathbf{uv})=(\mathbf{v},grad)\mathbf{u}+(\mathbf{u},grad)\mathbf{v}+\mathbf{v}\times rot\,\mathbf{u} +\mathbf{u}\times rot\,\mathbf{v}</math>
== Normált terek között ható függvény differenciálása ==
Legyen ''f'' : ''E''<math>\mapsto</math>''F'' normált térből normált térbe képező függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' differenciálható az értelmezési tartománya egy ''a'' belső pontjában, ha létezik olyan '''A''' : ''E''<math>\rightarrow</math>''F'' ''folytonos'' lineáris leképezés, mellyel a
:<math>\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)-\mathbf{A}(x-a)}{||x-a||}</math>
határérték létezik.
Lényeges, hogy ebben az általános esetben elengedhetetlen, hogy az '''A''' leképezés folytonos legyen, mert bár véges dimenziós ''E'' esetén minden '''A''' : ''E''<math>\rightarrow</math>''F'' lineáris leképezés folytonos, de ha ''E'' végtelen dimenziós, akkor megadható (még egydimenziós ''F'' esetén is) olyan lineáris függvény, mely nem folyonos. '''A''' folytonossága pedig elengedhetetlen ahhoz, hogy általános keretek között is érvényben maradjon az, hogy differenciálható függvény egyben folytonos is.
==Potenciálfüggvény teljes differenciálja==
| |||