„Banach–Tarski-paradoxon” változatai közötti eltérés

a
képlinkek javítása, magyarítása
a (kozmetikai javítások)
a (képlinkek javítása, magyarítása)
[[Kép:tarski.png|thumbbélyegkép|rightjobbra|350px| A Banach–Tarski-paradoxon „szemléltetése”. Egy gömböt fel lehet darabolni olyan darabokra, hogy abból két, ugyanakkora gömb rakható össze]]
 
A '''Banach–Tarski-paradoxon''' (más néven ''Hausdorff–Banach–Tarski paradoxon'') egy bízonyított matematikai [[tétel]], mely szerint egy 3 dimenziós, tömör gömböt a [[kiválasztási axióma]] felhasználásával fel lehet vágni véges sok olyan (nem [[Lebesgue-mérték|mérhető]]) darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeálltani.
karakter <math>e</math> egységelemmel. Ezt a csoportot <math>F_2</math>-nek nevezzük.
 
[[Kép:Paradoxical decomposition F2.png|thumbbélyegkép|rightjobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>-1</sup>) halmaz és a ''aS''(''a''<sup>-1</sup>) halmaz a [[Cayley-gráf]]ján ''F''<sub>2</sub>-nek]]
 
<math>F_2</math>-t a következőképpen bontjuk "paradox módon" diszjunkt halmazokra:
'''Step 1.''' The free group with two generators ''a'' and ''b'' consists of all finite strings that can be formed from the four symbols ''a'', ''a''<sup>-1</sup>, ''b'' and ''b''<sup>-1</sup> such that no ''a'' appears directly next to an ''a''<sup>-1</sup> and no ''b'' appears directly next to a ''b''<sup>-1</sup>. Two such strings can be concatenated and converted into a string of this type by repeatedly replacing the "forbidden" substrings with the empty string. For instance: ''abab''<sup>-1</sup>''a''<sup>-1</sup> concatenated with ''abab''<sup>-1</sup>''a'' yields ''abab''<sup>-1</sup>''a''<sup>-1</sup>''abab''<sup>-1</sup>''a'', which gets reduced to ''abaab''<sup>-1</sup>''a''. One can check that the set of those strings with this operation forms a group with neutral element the empty string <math>e</math>. We will call this group <math>F_2</math>.
 
[[Kép:Paradox felbontás F2.png|thumbbélyegkép|rightjobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>-1</sup>) halmaz és a ''aS''(''a''<sup>-1</sup>) halmaz ''F''<sub>2</sub>-nek a [[Cayley ábra]]ján]]
 
The group <math>F_2</math> can be "paradoxically decomposed" as follows: let ''S''(''a'') be the set of all strings that start with ''a'' and define ''S''(''a''<sup>-1</sup>), ''S''(''b'') and ''S''(''b''<sup>-1</sup>) similarly. Clearly,
99 820

szerkesztés