„Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet” változatai közötti eltérés

a
kozmetikai javítások
a (kozmetikai javítások)
== Az elmélet kifejtése ==
 
Az elmélet nyelvében két logikai relációjel szerepel, az egyenlőség szimbóluma ( = ) és az eleme szombólum ( ∈ ). Az egyenlőség tulajdonságait a [[predikátumkalkulus]] szokásos logikai szabályai rögzítik, az eleme jel tulajdonságait a matematikai axiómákban fogalmazzák meg. A változók szándékolt módon [[osztály (halmazelmélet)|osztályokat]] jelölnek, tehát a halmaz fogalmát ebben az elméletben definiálni lehet.
 
:''Most egy olyan axiómarendszert mutatunk be, mely szellemében a legközelebb áll a '''ZFC''' rendszerhez.
Azt mondjuk, hogy az ''x'' osztály ''halmaz'', ha tétel az alábbi Set(x)-szel jelölt formula:
:(∃y)(x ∈ y)
Tehát ha van legalább egy olyan ''y'' osztály, melynek ''x'' eleme. Ellenkező esetben (tehát ha a ¬¬(∃y∃y)(x ∈ y) formula tétel) az x osztály ''valódi osztály''.
 
:'''A<small>Z [[Extenzionalitási axióma|EXTENZIONALITÁS AXIÓMÁJA]]</small>''' – Ha két osztálynak azonosak az elemei, akkor a két osztály egyenlő, azaz ha ''x'' és ''y'' osztály, akkor
Az extenzionalitás axiómája alapján belátható, hogy ha az ilyen tulajdonságú osztály létezik, akkor az egyértelmű. A P(x) tulajdonságú ''halmaz''ok ''osztály''át a következőképpen jelöljük:
:<math>\{x\mid P(x)\}</math>
A "komprehenzív" kifejezés arra utal, hogy az axióma szándékozik "összegyűjteni" mindazon elemeket egy osztályba, melyre a P(x) formula tétel. A "korlátozott" szó pedig arra utal, hogy elemként íly módon csak halmazokat gyűjthetünk össze. Másrészt a "korlátozott" jelző arra is utal, hogy a P(x) formula tartalmazhat konkrét, akár valódi osztályokat is, de a (&forall;y∀y) jelsor csak úgy szerepelhet benne tetszőleges y változó esetén, ha utána a Set(y) általános feltétel is szerepel benne a kvantor hatókörén belül. Ez a kissé bonyolult feltétel P(x)-re lényeges, mert ezen múlik, hogy '''NBG''' tényleg ekvikonzisztens '''ZFC'''-vel. Létezik a halmazelméletne egy olyan '''NBG''' stílusú felépítése, a [[Morse–Kelley-halmazelmélet]], melyben P(x)-re nincs a fenti megkötés. '''MK''' azonban valódi bővítése '''ZFC'''-nek és valójában a halmazelmélet egy másodrendű kalkulusával egyenértékű. Az axiómát gyakran még elkülönítési axiómának is nevezik.
 
Ebből az axiómából két, kardinális jelentősségű osztály létezése következik. Az első a ''Russell-összesség'', azaz a
:<math>\mathbf{Ru}:=\{x\mid x\notin x\}</math>
osztály, mely az alábbiak szerint valódi osztály. Tegyük fel, hogy '''Ru''' halmaz. Ekkor a komprehenzivitás axiómája szerint minden ''x''-re: ''x'' &isin; '''Ru''' &#8660; (Set(x) &#8743; &#172;¬(x &isin; x)). Ha most ''x'' helyére '''Ru'''-t helyettesítünk, akkor azt kapjuk, hogy '''Ru''' &isin; '''Ru''' &#8660; (Set('''Ru''') &#8743; &#172;¬( '''Ru''' &isin; '''Ru''')), amely csak úgy lehet, ha Set('''Ru''') nem teljesül, hiszen ellenkező esetben ellentmondásra jutunk. De azt tettük fel, hogy '''Ru''' halmaz, ami szintén ellentmondás, tehát '''Ru''' nem halmaz, hanem valódi osztály.
 
A második fontos osztály az
:'''E<small>GYESÍTÉSI AXIÓMA</small>''' – Ha ''H'' halmaz, akkor az &cup;H := { x | (&exist;y)( y &isin; H &#8743; x &isin; y ) } unióosztály halmaz.
 
Definiálható halmazok ''[[rendezett pár]]''jának fogalma ( {{a},{a,b}} ), ''osztályok Descartes-szorzata'' ( A &times; B := { (x,y) | x &isin; A &#8743; y &isin; B } ) és az osztályok között ható funktor fogalma. A ''funktor'' olyan osztály, mely az A és B osztályok Descartes-szorzatának olyan F részosztálya, amely egyrészt a második változójában egyértelmű, azaz ha (x,y<sub>1</sub>) &isin; F és (x,y<sub>2</sub>) &isin; F, akkor y<sub>1</sub> = y<sub>2</sub> és másrészt a párok első tagjaként az összes A-beli elem részt vesz. Azt, hogy F egy A-ból B-be menő funktor úgy jelöljük, hogy F: A <math>\rightarrow</math> B. Ha egy funktor halmaz, akkor ''függvény''nek nevezik. Egy F: A <math>\rightarrow</math> B funktor értékkészlete azon elemekből áll, melyeket az a B osztályból elér, azaz F(A) := { F(x) | x &isin; A }. Ha I és A nem üres osztály, akkor egy I''-vel indexelt osztályrendszer'' olyan (A<sub>i</sub>)<sub>i&isin;Ii∈I</sub> funktor, mely I elemeihez A elemeit rendeli. Ha I halmaz, akkor az (A<sub>i</sub>)<sub>i&isin;Ii∈I</sub> rendszer &times;<sub>i&isin;Ii∈I</sub>A<sub>i</sub> ''Descartes-szorzat''a mindazon f: I <math>\rightarrow</math> &cup;A∪A ''kiválasztó függvény''ek összessége, melyek olyanok, hogy minden i&isin;Ii∈I-re f(i) &isin; A<sub>i</sub>. Ezeken kívül definiálni kell a [[természetes szám]]ok halmazelméleti modelljeit a [[Rendszám (halmazelmélet)|rendszám]]okon keresztül és ezesetben megfogalmazhatók a további axiómák:
 
:'''V<small>ÉGTELENSÉGI AXIÓMA</small>''' – Az összes &#216; , {&#216;} , {&#216;,{&#216;}}, {&#216;,{&#216;},{&#216;,{&#216;}}}, ... H &cup; {H}, ... alakú "természetes szám" halmazok osztálya halmazt alkot.
 
== Külső hivatkozások ==
 
*[http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/separticle.pdf Randall Holmes, ''Alternative Set Theories'']
*[http://planetmath.org/encyclopedia/VonNeumannBernausGodelSetTheory.html www.planetmath.org, ''von Neumann-Bernays-Gödel set theory'' ]
 
 
[[Kategória:Halmazelméleti axiómarendszerek és megalapozási paradigmák]]
247 461

szerkesztés