„Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet” változatai közötti eltérés

Az elmélet nyelvében két logikai relációjel szerepel, az egyenlőség szimbóluma ( = ) és az eleme szombólum ( ∈∈ ). Az egyenlőség tulajdonságait a [[predikátumkalkulus]] szokásos logikai szabályai rögzítik, az eleme jel tulajdonságait a matematikai axiómákban fogalmazzák meg. A változók szándékolt módon [[osztály (halmazelmélet)|osztályokat]] jelölnek, tehát a halmaz fogalmát ebben az elméletben definiálni lehet.

Tehát ha van legalább egy olyan ''y'' osztály, melynek ''x'' eleme. Ellenkező esetben (tehát ha a ¬¬(∃y∃y)(x ∈∈ y) formula tétel) az x osztály ''valódi osztály''.

A "komprehenzív" kifejezés arra utal, hogy az axióma szándékozik "összegyűjteni" mindazon elemeket egy osztályba, melyre a P(x) formula tétel. A "korlátozott" szó pedig arra utal, hogy elemként íly módon csak halmazokat gyűjthetünk össze. Másrészt a "korlátozott" jelző arra is utal, hogy a P(x) formula tartalmazhat konkrét, akár valódi osztályokat is, de a (∀y∀y) jelsor csak úgy szerepelhet benne tetszőleges y változó esetén, ha utána a Set(y) általános feltétel is szerepel benne a kvantor hatókörén belül. Ez a kissé bonyolult feltétel P(x)-re lényeges, mert ezen múlik, hogy '''NBG''' tényleg ekvikonzisztens '''ZFC'''-vel. Létezik a halmazelméletne egy olyan '''NBG''' stílusú felépítése, a [[Morse–Kelley-halmazelmélet]], melyben P(x)-re nincs a fenti megkötés. '''MK''' azonban valódi bővítése '''ZFC'''-nek és valójában a halmazelmélet egy másodrendű kalkulusával egyenértékű. Az axiómát gyakran még elkülönítési axiómának is nevezik.

osztály, mely az alábbiak szerint valódi osztály. Tegyük fel, hogy '''Ru''' halmaz. Ekkor a komprehenzivitás axiómája szerint minden ''x''-re: ''x'' ∈∈ '''Ru''' ⇔⇔ (Set(x) ∧∧ ¬¬(x ∈∈ x)). Ha most ''x'' helyére '''Ru'''-t helyettesítünk, akkor azt kapjuk, hogy '''Ru''' ∈∈ '''Ru''' ⇔⇔ (Set('''Ru''') ∧∧ ¬¬( '''Ru''' ∈∈ '''Ru''')), amely csak úgy lehet, ha Set('''Ru''') nem teljesül, hiszen ellenkező esetben ellentmondásra jutunk. De azt tettük fel, hogy '''Ru''' halmaz, ami szintén ellentmondás, tehát '''Ru''' nem halmaz, hanem valódi osztály.

Definiálható halmazok ''[[rendezett pár]]''jának fogalma ( {{a},{a,b}} ), ''osztályok Descartes-szorzata'' ( A &times; B := { (x,y) | x &isin;∈ A &#8743;∧ y &isin;∈ B } ) és az osztályok között ható funktor fogalma. A ''funktor'' olyan osztály, mely az A és B osztályok Descartes-szorzatának olyan F részosztálya, amely egyrészt a második változójában egyértelmű, azaz ha (x,y₁) &isin;∈ F és (x,y₂) &isin;∈ F, akkor y₁ = y₂ és másrészt a párok első tagjaként az összes A-beli elem részt vesz. Azt, hogy F egy A-ból B-be menő funktor úgy jelöljük, hogy F: A <math>\rightarrow</math> B. Ha egy funktor halmaz, akkor ''függvény''nek nevezik. Egy F: A <math>\rightarrow</math> B funktor értékkészlete azon elemekből áll, melyeket az a B osztályból elér, azaz F(A) := { F(x) | x &isin;∈ A }. Ha I és A nem üres osztály, akkor egy I''-vel indexelt osztályrendszer'' olyan (A_i)_{i&isin;Ii∈I} funktor, mely I elemeihez A elemeit rendeli. Ha I halmaz, akkor az (A_i)_{i&isin;Ii∈I} rendszer &times;_{i&isin;Ii∈I}A_i ''Descartes-szorzat''a mindazon f: I <math>\rightarrow</math> &cup;A∪A ''kiválasztó függvény''ek összessége, melyek olyanok, hogy minden i&isin;Ii∈I-re f(i) &isin;∈ A_i. Ezeken kívül definiálni kell a [[természetes szám]]ok halmazelméleti modelljeit a [[Rendszám (halmazelmélet)|rendszám]]okon keresztül és ezesetben megfogalmazhatók a további axiómák:

*[http://planetmath.org/encyclopedia/VonNeumannBernausGodelSetTheory.html www.planetmath.org, ''von Neumann-Bernays-Gödel set theory'' ]