„Logikai grammatika” változatai közötti eltérés

A logikai grammatikát gyakran nem az egész természetes nyelvre, csak valamely szempontból kiválasztott töredékére alkalmazzák, például a logikai kötőszavak ('nem', 'és', 'vagy', ...…) működését vizsgálják, vagy az igeidők használatának szabályait tekintik ('volt', 'lesz', ...…). Ekkor szigorúan megszabják, hogy mely szavakra és szerkezetekre vonatkozik a vizsgálat. Ebből a szempontból a ''mondat'' és a ''név'' fenti kissé pontatlan definíciója attól válik jól meghatározottá, hogy az adott elméletben egyszerűen felsorolják a megendedett szavakat és szerkezeteket. Így járnak el az [[axiomatikus-deduktív módszer|axiomatikus-deduktív]] tudományok nyelvében is, ahol csak a logikai kötőszavakat (és ezek egyértelmű szinonímáit) valamint az úgy nevezett alap- és származtatott fogalmakat szabad használni. Ezekben a rendszerekben az alapfogalmak bizonyos nevek, valamint a később bevezetésre kerülő funktorok; az axiómák pedig mondatok.

::'Háromszor veri ezt kenden vissza ...…'

funktort kapjuk, ahol '...…' jelzi az üres helyet (melybe egy individuumnevet írhatunk).

::'Lúdas ...…'

::'...… Misi'

::'...… ₍₁₎szor veri ezt kenden vissza ...… ₍₂₎'

ahol '...… ₍₁₎' és '...… ₍₂₎' helyébe egy-egy (nem feltétlenül azonos) individuumnevet írhatunk ('...… ₍₁₎' helyére illendő ezesetben természetes számot írni).

::'...… ₍₁₎szor veri ezt ...… ₍₂₎-on vissza ...… ₍₂₎'

:'...… ₍₁₎ akkor és csak akkor, ha ...… ₍₂₎'

:'Misi azt gondolja, hogy ...… '

:'Lehetséges, hogy ha ...… ₍₁₎, akkor ...… ₍₂₎'

:'...… ló' vagy behelyettesítve: 'Alamuszi [egy] ló'

:'...… ₍₁₎ átkelt a ...… ₍₂₎ folyón'

:'...… apósa'

:'...… ₍₁₎ és ...… ₍₂₎ első gyermeke'

Egy ''n''-bemenetű funktort ''F(x₁, x₂,...…, x_n)''-nel jelöljük, ahol ''x₁, x₂,...…, x_n'' szimbólumok a funktor üresen hagyott helyeit szimbolizálják; ezeket '''változó'''knak nevezzük. ''n''-nél több szabadon hagyott helye is lehet a funktornak, de ezek már csak "multiplicitások", azaz egy változó formálisan többször is szerepelhet egy funktorban. Az ''F(x₁, x₂,...…, x_n)'' funktor minden változója esetén meg van határozva, hogy névvel vagy mondattal kell az általa jelzett helyet kitölteni. Beszélünk tehát '''mondatváltozó'''ról és '''individuumváltozó'''ról.

A '...… halandó' predikátum kitöltetlen helyét megszüntethetjük például univerzális kvantifikációval, azaz:

A '...… halandó' predikátum funkcionális jelölésmódbeli ''P(x)'' változatára alkalmazva a lambdaoperációt, kapjuk a

Természetes nyelvben a '...… halandó' predikátum megnevezését a 'ság'-'ség' képzővel képezzük: 'halandóság' vagy még hozzátesszük: 'mint olyan', például 'a halandóság mint olyan', 'az igazság, mint olyan', 'a lóság mint olyan' (a '...… ló' predikátum megnevezése), vagy 'az összeadás mint olyan' (ezesetben a formális kifejezés: (λx₁)(λx₂)(x₁+x₂) ). A lambda-operáció is egy változót lekötő operátor.

:'Misi ...…'

Megszorítást kell tennünk azonban a következő eset miatt. Legyen ' ''Impr'' ...…' az a funktor, mely az összes egybemenetű predikátum individuumnevén van értelmezve a következőképpen: ha ''P(x)'' predikátum, akkor jelöljük ''(λx)( P(x) )''-et P°-kal és legyen

''Impr'' tehát azt mondja, hogy ' a ...… tulajdonság nem vonatkozik saját magára'. ''Impr'' persze egybemenetű prediktum, így felvethető, hogy milyen értéket ad saját megnevezésének. ''Impr''-nek ''P''-be történő behelyettesítés után kiderül, hogy

:'...… ₍₁₎ ∈ ...… ₍₂₎'

jelöli az 'a ...… ₍₁₎ individuum eleme a ...… ₍₂₎ összességnek' funktort. Ekkor az ellentmondás maga a [[Russell-paradoxon]] lesz. Ha '''Russ''' az { x | 'x nem eleme x-nek' } osztály, akkor '''Russ'''-t, mint nevet behelyettesíthetjük az 'x nem eleme x-nek' predikátumba, és kapjuk a

(\iota)\,</math> típusú, a kétváltozós <math>o(\iota)(\iota)\,</math> , a háromváltozós <math>o(\iota)(\iota)(\iota)\,</math> ...… típusú. Egy egyváltozós mondatfunktor <math>o(o)\,</math>, kétváltozós <math>o(o)(o)\,</math>, háromváltozós <math>o(o)(o)(o)\,</math>, ...… típusú. Egy egyváltozós névfunktor <math>\iota

(\iota)(\iota)\,</math>, ...… típusú. A vegyes funktorok közül például a főnévi igenév <math>\iota(o(\iota))\,</math> típusú (tehát egyváltozós predikátumból csinál nevet), a melléknévi jelzők <math>o(\iota)(o(\iota))\,</math> típusúak.