„Üres halmaz” változatai közötti eltérés

Azt a [[halmaz|halmazt]]t, amelynek egyetlen eleme sincsen, '''üres halmaznak''' nevezzük. Jelölése:

Az üres halmaz ''létezése'' egy formális-axiomatikus halmazelméletben a [[részhalmazaxióma]] következménye. Ha ''A'' tetszőleges halmaz, akkor a részhalmazaxióma szerint az {x ∈∈ A | x ≠≠ x } szintén egy létező halmaz. Azt, hogy egyáltalán létezik halmaz vagy egy külön létezési axiómából tudjuk, vagy a [[végtelenségi axióma]] rögzíti. (Valójában egy ''formális'' halmazelméletben egyáltalán nem szükséges egy létezési axióma megkövetelése, hiszen az előbbi ''A'' halmaz szerepét a halmazelmlet akármelyik termje játszhatja. Az informális, természetes nyelven kifejtett halmazelméletekben általában „kívánkozik” egy létezési axióma megkövetelése.)

A [[halmaz#Halmazok számossága|halmazok számosságának]] a definíciója értelmében a üres halmaz véges halmaz és a számossága <math>0</math>. Ugyanis tetszőleges véges ''H'' halmaz számossága az ''n'' &isin;∈ '''N''' [[természetes szám]], ha létezik [[bijekció]] ''H''-ból ''n''-be (ahol ''n'' a sztenderd halmazelméleti definíció természtes szám objektuma, melyre teljesül az ''n'' = {0,1,...…,n-1} patologikus tulajdonság). Persze, n = 0 esetén az előbbi halmaz üres, így létezik <math>\emptyset</math> <math>\rightarrow</math> <math>0\,</math>=<math>\emptyset</math> bijekció, hisz az üres függvény ilyen.